Unit 8: Statistics – चतुर्थांशीय भिन्नता, मध्यक भिन्नता, स्तरीय भिन्नता
Quartile Deviation, Mean Deviation, Standard Deviation & Coefficient of Variation
Introduction to Statistics
Unit 8: Statistics covers measures of dispersion including Quartile Deviation, Mean Deviation, Standard Deviation, and Coefficient of Variation. These measures help in understanding how data is spread out from the central value. Dispersion measures are essential for comparing the consistency and uniformity of different data sets.
परिभाषा (Definition):
तथ्याङ्कशास्त्र भनेको तथ्याङ्कहरूको संकलन, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुतीकरण र संगठनको विज्ञान हो।
Statistics is the science of collecting, analyzing, interpreting, presenting, and organizing data.
1. चतुर्थांशीय भिन्नता (Quartile Deviation)
चतुर्थांशहरू (Quartiles)
चतुर्थांशहरूले तथ्याङ्कलाई चार बराबर भागमा विभाजन गर्छन्। $Q_1$ पहिलो चतुर्थांश (25%), $Q_2$ दोस्रो चतुर्थांश (50% – मध्यिका), $Q_3$ तेस्रो चतुर्थांश (75%) हुन्छन्।
Quartiles divide the data into four equal parts. $Q_1$ is first quartile (25%), $Q_2$ is second quartile (50% – median), $Q_3$ is third quartile (75%).
अविच्छिन्न श्रेणीमा चतुर्थांशीय भिन्नता (Quartile Deviation in Continuous Series)
पहिलो चतुर्थांश (First Quartile): $Q_{1}$
$Q_1$ श्रेणी ($Q_1$ Class) = $(\frac{N}{4})^{\text{th}}$ item
$$Q_{1} = L + \frac{i}{f}(\frac{N}{4} – c.f.)$$
दोस्रो चतुर्थांश (Second Quartile): $Q_{2}$ (Median)
$Q_2$ श्रेणी ($Q_2$ Class) = $(\frac{N}{2})^{\text{th}}$ item
$$Q_{2} = L + \frac{i}{f}(\frac{N}{2} – c.f.)$$
तेस्रो चतुर्थांश (Third Quartile): $Q_{3}$
$Q_3$ श्रेणी ($Q_3$ Class) = $(\frac{3N}{4})^{\text{th}}$ item
$$Q_{3} = L + \frac{i}{f}(\frac{3N}{4} – c.f.)$$
चतुर्थांशीय भिन्नता (Quartile Deviation)
$$Q.D. = \frac{Q_{3} – Q_{1}}{2}$$
Where: $Q_3$ = Third quartile, $Q_1$ = First quartile
Q.D. को गुणाङ्क (Coefficient of Q.D.)
$$\text{Coefficient of Q.D.} = \frac{Q_{3} – Q_{1}}{Q_{3} + Q_{1}}$$
सङ्केतहरूको अर्थ (Meaning of Symbols)
$L$ = निम्न सीमा (Lower limit)
$i$ = वर्ग अन्तराल (Class interval)
$f$ = आवृत्ति (Frequency)
$c.f.$ = संचयी आवृत्ति (Cumulative frequency)
$N$ = कुल आवृत्ति (Total frequency)
$Q_1$ = पहिलो चतुर्थांश
$Q_3$ = तेस्रो चतुर्थांश
$Q.D.$ = चतुर्थांशीय भिन्नता
उदाहरण (Example): चतुर्थांशीय भिन्नता निकाल्ने
दिइएको तथ्याङ्कबाट चतुर्थांशीय भिन्नता निकाल्नुहोस्:
Step 1: $N = 40$ (कुल आवृत्ति)
Step 2: $Q_1$ class: $\frac{N}{4} = \frac{40}{4} = 10$th item → Class: 10-20
$Q_1 = L + \frac{i}{f}(\frac{N}{4} – c.f.) = 10 + \frac{10}{10}(10 – 5) = 10 + 5 = 15$
Step 3: $Q_3$ class: $\frac{3N}{4} = \frac{3\times40}{4} = 30$th item → Class: 20-30
$Q_3 = L + \frac{i}{f}(\frac{3N}{4} – c.f.) = 20 + \frac{10}{15}(30 – 15) = 20 + \frac{10}{15}\times15 = 20 + 10 = 30$
Step 4: $Q.D. = \frac{Q_3 – Q_1}{2} = \frac{30 – 15}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
Step 5: Coefficient of Q.D. = $\frac{Q_3 – Q_1}{Q_3 + Q_1} = \frac{30 – 15}{30 + 15} = \frac{15}{45} = 0.333$
2. मध्यक भिन्नता (Mean Deviation)
मध्यक भिन्नता (Mean Deviation)
मध्यक भिन्नता भनेको तथ्याङ्कका मानहरूबाट मध्यक (Mean) वा मध्यिका (Median) बाटको औसत दूरी हो। यसले तथ्याङ्कहरू कति फैलिएका छन् भन्ने जानकारी दिन्छ।
Mean Deviation is the average distance of data values from the mean or median. It measures how spread out the data is.
अविच्छिन्न श्रेणीमा मध्यक भिन्नता (Mean Deviation in Continuous Series)
मध्यकबाट मध्यक भिन्नता (Mean Deviation from Mean)
$$M.D. = \frac{\Sigma f|m – \overline{X}|}{N}$$
(जहाँ, $m =$ मध्यमान (mid value) र $\overline{X} =$ मध्यक (Mean))
M.D. को गुणाङ्क (Coefficient of M.D. from Mean)
$$\text{Coefficient} = \frac{M.D.}{\text{Mean } (\overline{X})}$$
मध्यिकाबाट मध्यक भिन्नता (Mean Deviation from Median)
$$M.D. = \frac{\Sigma f|m – Med|}{N}$$
(जहाँ, $m =$ मध्यमान (mid value) र $Med =$ मध्यिका (Median))
M.D. को गुणाङ्क (Coefficient of M.D. from Median)
$$\text{Coefficient} = \frac{M.D.}{\text{Median } (Med)}$$
उदाहरण (Example): मध्यकबाट मध्यक भिन्नता निकाल्ने
दिइएको तथ्याङ्कबाट मध्यकबाट मध्यक भिन्नता र यसको गुणाङ्क निकाल्नुहोस्:
Step 1: मध्यक (Mean) $\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{920}{40} = 23$
Step 2: मध्यक भिन्नता $M.D. = \frac{\Sigma f|m – \overline{X}|}{N} = \frac{345}{40} = 8.625$
Step 3: गुणाङ्क (Coefficient) = $\frac{M.D.}{\overline{X}} = \frac{8.625}{23} = 0.375$
∴ Mean Deviation from mean = 8.625, Coefficient = 0.375
3. स्तरीय भिन्नता (Standard Deviation)
स्तरीय भिन्नता (Standard Deviation)
स्तरीय भिन्नता भनेको तथ्याङ्कका मानहरू मध्यकबाट औसत कति टाढा छन् भन्ने मापन हो। यो विचरणको वर्गमूल हो। स्तरीय भिन्नता लाई $\sigma$ (सिग्मा) ले जनाइन्छ।
Standard Deviation measures how far data values are from the mean on average. It is the square root of variance. Denoted by $\sigma$ (sigma).
अविच्छिन्न श्रेणीमा स्तरीय भिन्नता (Standard Deviation in Continuous Series)
प्रत्यक्ष विधि (Direct method)
$$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma fm^{2}}{N} – \left(\frac{\Sigma fm}{N}\right)^{2}}$$
वास्तविक मध्यक विधि (Actual mean method)
$$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f(m – \overline{X})^{2}}{N}}$$
अनुमानित मध्यक विधि (Assumed mean method)
$$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma fd^{2}}{N} – \left(\frac{\Sigma fd}{N}\right)^{2}}$$
(Where $d = m – A$, and $A$ is the assumed mean)
पद विचलन विधि (Step deviation method)
$$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma fd’^{2}}{N} – \left(\frac{\Sigma fd’}{N}\right)^{2}} \times i$$
(Where $d’ = \frac{m – A}{i}$, $i$ = class size)
विचरण (Variance)
$$\text{Variance} = \sigma^{2}$$
विचरण भनेको स्तरीय भिन्नताको वर्ग हो। (Variance is the square of standard deviation.)
उदाहरण (Example): स्तरीय भिन्नता निकाल्ने (Assumed mean method)
Given: A = 25 (Assumed mean), N = 40, Σfd = -80, Σfd² = 4600
Step 1: $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma fd^{2}}{N} – \left(\frac{\Sigma fd}{N}\right)^{2}}$
Step 2: $\frac{\Sigma fd^2}{N} = \frac{4600}{40} = 115$
Step 3: $\left(\frac{\Sigma fd}{N}\right)^2 = \left(\frac{-80}{40}\right)^2 = (-2)^2 = 4$
Step 4: $\sigma = \sqrt{115 – 4} = \sqrt{111} = 10.535$
Step 5: Variance = $\sigma^2 = 111$
∴ Standard Deviation (σ) = 10.535, Variance = 111
4. विचरणशीलताको गुणाङ्क (Coefficient of Variation)
विचरणशीलताको गुणाङ्क (Coefficient of Variation)
विचरणशीलताको गुणाङ्क भनेको स्तरीय भिन्नता र मध्यकको अनुपात हो जसलाई प्रतिशतमा व्यक्त गरिन्छ। यसले दुई वा दुईभन्दा बढी तथ्याङ्क समुहहरूको तुलना गर्न मद्दत गर्छ।
Coefficient of Variation is the ratio of standard deviation to mean, expressed as percentage. It helps compare two or more data sets.
विचरणशीलताको गुणाङ्क (Coefficient of Variation)
$$C.V. = \frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100\%$$
Where: $\sigma$ = Standard Deviation, $\overline{X}$ = Mean
उदाहरण (Example): दुई समुहको तुलना
दुई विद्यार्थीहरूको परीक्षा अङ्कहरूको तुलना गर्नुहोस्:
विद्यार्थी A
मध्यक (Mean) = 75
स्तरीय भिन्नता (σ) = 10
$C.V. = \frac{10}{75} \times 100\% = 13.33\%$
विद्यार्थी B
मध्यक (Mean) = 60
स्तरीय भिन्नता (σ) = 8
$C.V. = \frac{8}{60} \times 100\% = 13.33\%$
निष्कर्ष (Conclusion): दुवै विद्यार्थीहरूको विचरणशीलताको गुणाङ्क एउटै (13.33%) भएकाले दुवैको अङ्कहरू एकरूप छन्।
Both students have same coefficient of variation (13.33%), so both have uniform marks distribution.
5. महत्त्वपूर्ण बुँदाहरू (Key Points on Variation)
विचरणशीलताको गुणाङ्क सम्बन्धी महत्त्वपूर्ण बुँदाहरू
(i) विचरणशीलताको गुणाङ्क जति सानो छ, त्यतिनै बढी तथ्याङ्क एकरूपता वा स्थिरता भएको मानिन्छ।
The smaller value of the coefficient of variation indicates the data is more consistent or uniform.
(ii) विचरणशीलताको गुणाङ्क जति ठूलो छ, त्यतिनै बढी तथ्याङ्क एकरूपता नभएको वा स्थिरता नभएको मानिन्छ।
The greater value of the coefficient of variation indicates the data is not consistent or uniform.
(iii) विभिन्न तथ्याङ्कहरू बिचको तुलनात्मक अध्ययन गर्दा विचरणशीलताको गुणाङ्क (Coefficient of Variation) सानो भएको राम्रो मानिन्छ ।
In the comparative study of two sets of data, the data with the smaller coefficient of variation is considered better or more uniform.
(iv) विचरणशीलताको अधिकतम गुणाङ्क 1 वा 100% हुन्छ ।
The maximum value of the coefficient of variation is 1 or 100%.
भिन्नता मापनहरूको तुलना (Comparison of Dispersion Measures)
| मापन (Measure) | सूत्र (Formula) | विशेषता (Feature) | उपयोग (Use) |
|---|---|---|---|
| चतुर्थांशीय भिन्नता (Quartile Deviation) |
$Q.D. = \frac{Q_3 – Q_1}{2}$ | अन्तिम मानहरूको प्रभावबाट मुक्त | खुला-अन्त्य श्रेणीको लागि |
| मध्यक भिन्नता (Mean Deviation) |
$M.D. = \frac{\Sigma f|m-\overline{X}|}{N}$ | सबै मानहरू विचार गर्छ | साधारण भिन्नताको लागि |
| स्तरीय भिन्नता (Standard Deviation) |
$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f(m-\overline{X})^2}{N}}$ | सबैभन्दा प्रचलित मापन | तुलनात्मक अध्ययनको लागि |
| विचरणशीलताको गुणाङ्क (Coefficient of Variation) |
$C.V. = \frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100\%$ | सापेक्षिक भिन्नता | भिन्न एकाइ भएको तथ्याङ्कको तुलना |
6. अभ्यासका उदाहरणहरू (Practice Examples)
Example 1: चतुर्थांशीय भिन्नता
दिइएको तथ्याङ्कबाट चतुर्थांशीय भिन्नता र यसको गुणाङ्क निकाल्नुहोस्:
वर्ग: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100
आवृत्ति: 4, 6, 10, 8, 2
Hint: N=30, $Q_1$ class: 7.5th item, $Q_3$ class: 22.5th item
$Q_1 = 20 + \frac{20}{6}(7.5-4) = 31.67$
$Q_3 = 60 + \frac{20}{8}(22.5-20) = 66.25$
$Q.D. = \frac{66.25-31.67}{2} = 17.29$
Example 2: मध्यक भिन्नता
दिइएको तथ्याङ्कबाट मध्यिकाबाट मध्यक भिन्नता निकाल्नुहोस्:
वर्ग: 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60
आवृत्ति: 5, 8, 12, 7, 3
Hint: N=35, Median class: 30-40
$Med = 30 + \frac{10}{12}(17.5-13) = 33.75$
$M.D. = \frac{\Sigma f|m-33.75|}{35}$
Example 3: स्तरीय भिन्नता र विचरणशीलताको गुणाङ्क
दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता, विचरण र विचरणशीलताको गुणाङ्क निकाल्नुहोस्:
वर्ग: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40
आवृत्ति: 2, 5, 8, 5
मध्यक ($\overline{X}$) = 23
Solution:
$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f(m-\overline{X})^2}{N}} = \sqrt{\frac{2570}{20}} = \sqrt{128.5} = 11.34$
Variance = $\sigma^2 = 128.5$
$C.V. = \frac{11.34}{23} \times 100\% = 49.3\%$
सूत्रहरूको सारांश (Formula Summary)
चतुर्थांशीय भिन्नता
$Q.D. = \frac{Q_3 – Q_1}{2}$
Coefficient = $\frac{Q_3 – Q_1}{Q_3 + Q_1}$
मध्यक भिन्नता
$M.D. = \frac{\Sigma f|m-\overline{X}|}{N}$
Coefficient = $\frac{M.D.}{\overline{X}}$
स्तरीय भिन्नता
$\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma f(m-\overline{X})^2}{N}}$
$C.V. = \frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100\%$
7. Full Chapter PDF Manual
Access the complete PDF manual with exercises, examples, and detailed explanations on Statistics including Quartile Deviation, Mean Deviation, Standard Deviation and Coefficient of Variation.