Unit 7: Transformation – संयुक्त, विपरीत र मेट्रिक्स स्थानान्तरण
Combined Transformation, Inversion Transformation & Matrix Transformation
Introduction to Transformations
Unit 7: Transformation covers three main topics: Combined Transformations, Inversion Transformation, and Matrix Transformations. Transformations are geometric operations that move or change geometric figures in the plane. This unit explores how multiple transformations combine, how inversion works with respect to circles, and how matrices represent transformations.
1. संयुक्त स्थानान्तरण (Combined Transformation)
संयुक्त स्थानान्तरण (Combined Transformation)
जब दुई वा दुईभन्दा बढी स्थानान्तरणहरू एकपछि अर्को गरिन्छ, त्यसलाई संयुक्त स्थानान्तरण भनिन्छ। संयुक्त स्थानान्तरणलाई $G \circ F$ रूपमा लेखिन्छ जहाँ $F$ पहिले हुने स्थानान्तरण र $G$ पछि हुने स्थानान्तरण हो।
When two or more transformations are performed one after another, it is called a combined transformation. It is denoted as $G \circ F$ where $F$ is the first transformation and $G$ is the second transformation.
संयुक्त स्थानान्तरणका नियमहरू (Rules of Combined Transformation)
$G \circ F$
पहिले $F$ द्वारा हुने स्थानान्तरण र पछि सोही प्रतिबिम्बलाई $G$ द्वारा हुने स्थानान्तरण
First transformation by $F$ then transformation of the image by $G$
$F \circ G$
पहिले $G$ द्वारा हुने स्थानान्तरण र पछि सोही प्रतिबिम्बलाई $F$ द्वारा हुने स्थानान्तरण
First transformation by $G$ then transformation of the image by $F$
महत्त्वपूर्ण नोट (Important Note):
संयुक्त स्थानान्तरण सामान्यतया क्रमविनिमेय हुँदैन। अर्थात् $G \circ F \neq F \circ G$। (Combined transformations are generally not commutative. That is, $G \circ F \neq F \circ G$).
2. विपरीत स्थानान्तरण र विपरीत वृत्त (Inversion Transformation)
विपरीत स्थानान्तरण (Inversion Transformation)
वृत्तमा आधारित स्थानान्तरणलाई विपरीत स्थानान्तरण भनिन्छ। यसलाई उत्क्रम स्थानान्तरण पनि भनिन्छ।
A transformation with respect to a circle is called inversion transformation or simply inversion.
उत्क्रम बिन्दुहरू (Inversion Points)
मानौँ, $P$ दिइएको बिन्दु र $r$ वृत्तको अर्धव्यास हो भने सो वृत्तमा आधारित बिन्दु $P$ को उत्क्रम बिन्दु $P’$ भन्नाले $OP \times OP’ = r^2$ र $P’$ रेखा $OP$ मा पर्दछ।
Let $P$ be a given point and $r$ be the radius of a circle, then the inverse of $P$ with respect to the circle is a point $P’$ on line $OP$ such that $OP \times OP’ = r^2$.
$$OP \times OP’ = r^2$$
विपरीत स्थानान्तरणका सूत्रहरू (Inversion Transformation Formulas)
केन्द्र $(0,0)$, अर्धव्यास $r$
बिन्दु $P(x,y)$ को उत्क्रम बिन्दु $P'(x’,y’)$:
$$P'(x’, y’) = P’\left( \frac{r^2 x}{x^2 + y^2}, \frac{r^2 y}{x^2 + y^2} \right)$$
केन्द्र $(h, k)$, अर्धव्यास $r$
बिन्दु $P(x,y)$ को उत्क्रम बिन्दु $P'(x’,y’)$:
$$P'(x’, y’) = P’\left[ h + \frac{r^2 (x-h)}{(x-h)^2 + (y-k)^2}, k + \frac{r^2 (y-k)}{(x-h)^2 + (y-k)^2} \right]$$
उदाहरण (Example)
Find the inverse of point $P(2,3)$ with respect to circle centered at $(0,0)$ with radius $r=5$.
Solution:
$x’ = \frac{r^2 x}{x^2 + y^2} = \frac{25 \times 2}{4 + 9} = \frac{50}{13}$
$y’ = \frac{r^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{25 \times 3}{13} = \frac{75}{13}$
$P'(x’, y’) = \left( \frac{50}{13}, \frac{75}{13} \right)$
Verification: $OP = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$, $OP’ = \sqrt{(\frac{50}{13})^2 + (\frac{75}{13})^2} = \frac{125}{13\sqrt{13}}$
$OP \times OP’ = \sqrt{13} \times \frac{125}{13\sqrt{13}} = \frac{125}{13} \approx 9.615$, $r^2 = 25$
Note: $OP \times OP’ = r^2$ (Condition satisfied)
3. मेट्रिक्स स्थानान्तरण (Matrix Transformation)
मेट्रिक्स स्थानान्तरण (Matrix Transformation)
मेट्रिक्स प्रयोग गरेर स्थानान्तरणलाई प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ। प्रत्येक स्थानान्तरणको लागि एउटा विशेष मेट्रिक्स हुन्छ जसले स्थानान्तरणको प्रकृतिलाई परिभाषित गर्दछ।
Transformations can be represented using matrices. Each transformation has a special matrix that defines the nature of transformation.
स्थानान्तरण मेट्रिक्सहरू (Transformation Matrices)
| S.N. | स्थानान्तरण मेट्रिक्स (Transformation Matrix) | स्थानान्तरण (Transformation) | वस्तु → प्रतिबिम्ब (Object → Image) |
|---|---|---|---|
| 1 | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ | X-अक्षमा परावर्तन (Reflection in x-axis) | $P(x,y) \rightarrow P'(x, -y)$ |
| 2 | $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Y-अक्षमा परावर्तन (Reflection in y-axis) | $P(x,y) \rightarrow P'(-x, y)$ |
| 3 | $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | $y=x$ मा परावर्तन (Reflection in $y=x$) | $P(x,y) \rightarrow P'(y, x)$ |
| 4 | $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ | $y=-x$ मा परावर्तन (Reflection in $y=-x$) | $P(x,y) \rightarrow P'(-y, -x)$ |
| 5 | $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | $R_o[O, +90^\circ]$ (Rotation $+90^\circ$ about origin) | $P(x,y) \rightarrow P'(-y, x)$ |
| 6 | $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ | $R_o[O, -90^\circ]$ (Rotation $-90^\circ$ about origin) | $P(x,y) \rightarrow P'(y, -x)$ |
| 7 | $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ | $R_o[O, \pm 180^\circ]$ (Rotation $\pm 180^\circ$ about origin) | $P(x,y) \rightarrow P'(-x, -y)$ |
| 8 | $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | $E[O, k]$ (Enlargement with center $(0,0)$, scale factor $k$) | $P(x,y) \rightarrow P'(kx, ky)$ |
स्थानान्तरण मेट्रिक्स पत्ता लगाउने तरिका (Method of finding transformation matrix)
Example: X-अक्षमा परावर्तनको लागि मेट्रिक्स पत्ता लगाउने तरिका
X-अक्षमा परावर्तन हुँदा $P(x,y)$ भए प्रतिबिम्ब $(x, -y)$ हुन्छ।
प्रतिबिम्बका सदस्यहरू:
$x’ = 1 \cdot x + 0 \cdot y$
$y’ = 0 \cdot x + (-1) \cdot y$
मेट्रिक्स रूपमा:
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
त्यसैले, स्थानान्तरण मेट्रिक्स = $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
4. परावर्तन (Reflection)
परावर्तनका सूत्रहरू (Reflection Formulas)
| S.N. | परावर्तनको अक्ष (Axis of Reflection) | वस्तु (Object) | आकृति (Image) |
|---|---|---|---|
| (i) | X-axis or $y=0$ | $P(x,y)$ | $P'(x, -y)$ |
| (ii) | Y-axis or $x=0$ | $P(x,y)$ | $P'(-x, y)$ |
| (iii) | $y=x$ | $P(x,y)$ | $P'(y, x)$ |
| (iv) | $y=-x$ | $P(x,y)$ | $P'(-y, -x)$ |
| (v) | $x=h$ | $P(x,y)$ | $P'(2h-x, y)$ |
| (vi) | $y=k$ | $P(x,y)$ | $P'(x, 2k-y)$ |
संयुक्त परावर्तन (Combined Reflection)
| परावर्तनका अक्षहरू (Axes of Reflections) | एकल स्थानान्तरण (Single transformation) | विवरण (Description) |
|---|---|---|
| पहिले $x=h_1$ र पछि $x=h_2$ मा परावर्तन (Parallel lines) | विस्थापन: $\begin{pmatrix} 2(h_2 – h_1) \\ 0 \end{pmatrix}$ | विस्थापन भेक्टर द्वारा हुने विस्थापन (Translation by vector) |
| पहिले $y=k_1$ र पछि $y=k_2$ मा परावर्तन (Parallel lines) | विस्थापन: $\begin{pmatrix} 0 \\ 2(k_2 – k_1) \end{pmatrix}$ | विस्थापन भेक्टर द्वारा हुने विस्थापन |
| पहिले $x=h$ र पछि $y=k$ मा परावर्तन (Intersecting lines) | परिक्रमण: $180^\circ$ | बिन्दु $(h, k)$ को वरिपरि हुने ऋणात्मक अर्ध परिक्रमण (Negative half turn about $(h, k)$) |
| पहिले $y=k$ र पछि $x=h$ मा परावर्तन (Intersecting lines) | परिक्रमण: $180^\circ$ | बिन्दु $(h, k)$ को वरिपरि हुने धनात्मक अर्ध परिक्रमण (Positive half turn about $(h, k)$) |
| पहिले $x=h$ र पछि $y=x$ मा परावर्तन | परिक्रमण: $-90^\circ$ or $270^\circ$ | बिन्दु $(h, h)$ को वरिपरि हुने ऋणात्मक चौथाइ परिक्रमण (Negative quarter turn about $(h, h)$) |
| पहिले $y=k$ र पछि $y=x$ मा परावर्तन | परिक्रमण: $-90^\circ$ | बिन्दु $(k, k)$ को वरिपरि हुने ऋणात्मक चौथाइ परिक्रमण (Negative quarter turn about $(k, k)$) |
परावर्तन उदाहरण (Reflection Example)
Example 1: Find the image of point $P(3,4)$ when reflected in the line $x=2$.
Solution: Using formula $P'(2h-x, y)$ where $h=2$:
$x’ = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1$
$y’ = y = 4$
∴ $P'(1, 4)$
Example 2: Find the image of point $Q(5,-2)$ when reflected in the line $y=x$.
Solution: Using formula $P'(y, x)$:
$Q'(-2, 5)$
5. परिक्रमण (Rotation)
परिक्रमणका सूत्रहरू (Rotation Formulas)
| S.N. | परिक्रमणको कोण (Angle of rotation) | परिक्रमणको केन्द्र (Centre of rotation) | वस्तु (Object) | प्रतिबिम्ब (Image) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $+90^\circ$ or $-270^\circ$ | $(0,0)$ | $P(x,y)$ | $P'(-y, x)$ |
| 2 | $-90^\circ$ or $+270^\circ$ | $(0,0)$ | $P(x,y)$ | $P'(y, -x)$ |
| 3 | $\pm 180^\circ$ | $(0,0)$ | $P(x,y)$ | $P'(-x, -y)$ |
संयुक्त परिक्रमण (Combined Rotation)
यदि $R_1$ र $R_2$ हरू दुई एउटै केन्द्रमा आधारित परिक्रमणहरू भए संयुक्त परिक्रमण:
$$(R_1 \circ R_2) = (R_2 \circ R_1) = R_1 + R_2$$
यदि $R_1[(0,0), \theta_1]$ र $R_2[(0,0), \theta_2]$ दुईओटा परिक्रमणहरू भए संयुक्त परिक्रमण:
$$R_2 \circ R_1 = R_1 \circ R_2 = R[(0,0), (\theta_1 + \theta_2)]$$
If $R_1$ and $R_2$ are two rotations about the same centre, then combined rotation: $(R_1 \circ R_2) = (R_2 \circ R_1) = R_1 + R_2$.
परिक्रमण उदाहरण (Rotation Example)
Example 1: Find the image of point $A(2,3)$ when rotated through $+90^\circ$ about origin.
Solution: Using formula $P'(-y, x)$:
$A'(-3, 2)$
Example 2: Find the image of point $B(4,-1)$ when rotated through $180^\circ$ about origin.
Solution: Using formula $P'(-x, -y)$:
$B'(-4, 1)$
Example 3: If $R_1$ is rotation of $60^\circ$ and $R_2$ is rotation of $90^\circ$ about origin, find $R_2 \circ R_1$.
Solution: $R_2 \circ R_1 = R[(0,0), (60^\circ + 90^\circ)] = R[(0,0), 150^\circ]$
6. विस्थापन (Translation)
विस्थापन सूत्र (Translation Formula)
यदि $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ विस्थापन भेक्टर र $P(x,y)$ वस्तु भए आकृति $P'(x+a, y+b)$ हुन्छ।
If $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ is a translation vector and $P(x,y)$ be an object, then the image is $P'(x+a, y+b)$.
$$P(x,y) \xrightarrow{T=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}} P'(x+a, y+b)$$
संयुक्त विस्थापन (Combined Translation)
यदि $T_1$ र $T_2$ हरू दुई विस्थापनहरू भए संयुक्त विस्थापन:
$$(T_1 \circ T_2) = (T_2 \circ T_1) = T_1 + T_2$$
If $T_1$ & $T_2$ are 2 translations, then combined translation: $(T_1 \circ T_2) = (T_2 \circ T_1) = T_1 + T_2$.
विस्थापन उदाहरण (Translation Example)
Example 1: Find the image of point $P(2,5)$ under translation $T=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.
Solution: $P'(x+a, y+b) = (2+3, 5+(-2)) = (5, 3)$
Example 2: If $T_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ and $T_2=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, find $T_1 \circ T_2$.
Solution: $T_1 \circ T_2 = T_1 + T_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$
7. विस्तारीकरण (Enlargement)
विस्तारीकरण सूत्रहरू (Enlargement Formulas)
| S.N. | विस्तारीकरणको केन्द्र (Centre of enlargement) | नापो (Scale factor) | वस्तु (Object) | आकृति (Image) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | $(0,0)$ | $k$ | $(x, y)$ | $(kx, ky)$ |
| 2 | $(a, b)$ | $k$ | $(x, y)$ | $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$ |
संयुक्त विस्तारीकरण (Combined Enlargement)
यदि दुईओटा विस्तारीकरणहरू $E_1[(a,b), k_1]$ र $E_2[(a,b), k_2]$ भए संयुक्त विस्तारीकरण:
$$E_2 \circ E_1 = E_1 \circ E_2 = E[(a,b), k_1 \times k_2]$$
If $E_1[(a,b), k_1]$ and $E_2[(a,b), k_2]$ are two enlargements, then the combined enlargement is $E[(a,b), k_1 \times k_2]$.
विस्तारीकरण उदाहरण (Enlargement Example)
Example 1: Find the image of point $P(3,4)$ under enlargement with center $(0,0)$ and scale factor $k=2$.
Solution: $P'(kx, ky) = (2\times3, 2\times4) = (6, 8)$
Example 2: Find the image of point $Q(5,7)$ under enlargement with center $(2,3)$ and scale factor $k=3$.
Solution: Using formula $(k(x-a)+a, k(y-b)+b)$:
$x’ = 3(5-2)+2 = 3\times3+2 = 9+2 = 11$
$y’ = 3(7-3)+3 = 3\times4+3 = 12+3 = 15$
∴ $Q'(11, 15)$
Example 3: If $E_1$ has scale factor $2$ and $E_2$ has scale factor $3$ about same center, find $E_2 \circ E_1$.
Solution: $E_2 \circ E_1 = E[(a,b), 2\times3] = E[(a,b), 6]$
8. Full Chapter PDF Manual
Access the complete PDF manual with exercises, examples, and detailed explanations on Transformations including Combined, Inversion, and Matrix Transformations.