Unit 6: Vector – स्केलर गुणनफल र भेक्टर ज्यामिति
Scalar Product, Vector Geometry, Dot Product & Vector Laws
Introduction to Vectors
Unit 6: Vector covers fundamental concepts of vectors including scalar product (dot product), vector geometry, vector laws, and their applications. Vectors are quantities that have both magnitude and direction, widely used in physics, engineering, and mathematics to represent forces, velocities, displacements, and more.
1. स्केलर गुणनफल (Scalar Product)
बिन्दु गुणनफल या स्केलर गुणनफल (Dot Product or Scalar Product)
दुईओटा भेक्टरहरूको परिमाणहरू र तिनीहरूबिचको कोणको cosine को गुणनफललाई स्केलर गुणनफल भनिन्छ ।
The product of magnitude of two vectors with cosine angle between them is called the scalar product.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$$
यहाँ $\theta$ भनेको $\vec{a}$ र $\vec{b}$ बिचको कोण हो (Where $\theta$ is the angle between $\vec{a}$ and $\vec{b}$)
चित्रीय निरूपण (Graphical Representation):
$\vec{a}$ र $\vec{b}$ दुई भेक्टरहरू (बीचको कोण $\theta$):
भेक्टरको अवयवीय रूपमा स्केलर गुणनफल (Scalar Product in Component Form)
यदि $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ र $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ भए:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
अथवा, यदि $\vec{a} = (a_1, a_2)$ र $\vec{b} = (b_1, b_2)$ भए:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
उदाहरण (Example):
यदि $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ र $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ भए:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \times 4) + (3 \times 5) = 8 + 15 = 23$
भेक्टरहरूबिचको कोण (Angle Between Vectors)
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$
यहाँ:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (भेक्टर $\vec{a}$ को परिमाण)
$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$ (भेक्टर $\vec{b}$ को परिमाण)
2. सूत्रहरू र मुख्य बुँदाहरू (Formulae and Key Points)
मुख्य सूत्रहरू (Main Formulae)
$\vec{a}$ र $\vec{b}$ कुनै दुई भेक्टरहरूका लागि (For any two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$):
| सूत्र (Formula) | विवरण (Description) |
|---|---|
| $(\vec{a} + \vec{b})^2 = a^2 + b^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ | भेक्टर योगफलको वर्ग (Square of vector sum) |
| $(\vec{a} – \vec{b})^2 = a^2 + b^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ | भेक्टर अन्तरको वर्ग (Square of vector difference) |
| $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b}) = a^2 – b^2$ | योग र अन्तरको गुणनफल (Product of sum and difference) |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ | स्केलर गुणनफल क्रमविनिमेय हुन्छ (Scalar product is commutative) |
| $(\vec{a})^2 = a^2 = |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = a^2$ | भेक्टरको वर्ग (Square of a vector) |
एकाइ भेक्टरहरू (Unit Vectors)
यदि $\vec{i}$ र $\vec{j}$ क्रमशः X-अक्ष र Y-अक्ष तिरका एकाइ भेक्टरहरू भए:
$\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$
X-अक्षको एकाइ भेक्टरको वर्फ (Square of unit vector along X-axis)
$\vec{j} \cdot \vec{j} = 1$
Y-अक्षको एकाइ भेक्टरको वर्फ (Square of unit vector along Y-axis)
$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$
X र Y एकाइ भेक्टरको गुणनफल (Dot product of X and Y unit vectors)
$\vec{j} \cdot \vec{i} = 0$
Y र X एकाइ भेक्टरको गुणनफल (Dot product of Y and X unit vectors)
विशेष अवस्थाहरू (Special Conditions)
यदि $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ र $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ भए:
लम्ब हुने अवस्था (Condition of Perpendicularity)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$
दुई भेक्टरहरू लम्ब भएमा तिनीहरूको स्केलर गुणनफल शून्य हुन्छ।
(If two vectors are perpendicular, their scalar product is zero.)
समानान्तर हुने अवस्था (Condition for Being Parallel)
$$\vec{a} = m\vec{b}$$
यहाँ $m$ एउटा अदिश सङ्ख्या हो।
(Where $m$ is a scalar number.)
दुई बिन्दुबिचको भेक्टर (Vector Between Two Points)
$$\vec{AB} = \vec{b} – \vec{a}$$
जहाँ $\vec{a}$ र $\vec{b}$ क्रमशः बिन्दु A र B का स्थिति भेक्टरहरू हुन्।
(Where $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are position vectors of points A and B respectively.)
अथवा: $\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA}$
3. भेक्टर ज्यामिति (Vector Geometry)
भेक्टर ज्यामिति (Vector Geometry)
भेक्टर ज्यामितिमा हामी भेक्टरहरूको प्रयोग गरेर ज्यामितीय आकृतिहरू, बिन्दुहरू, रेखाहरू र तिनीहरूबिचको सम्बन्धहरू अध्ययन गर्छौं।
In vector geometry, we study geometric shapes, points, lines and their relationships using vectors.
4. भेक्टर जोडका नियमहरू (Vector Laws)
भेक्टरको त्रिभुज नियम (Triangle Law of Vector)
त्रिभुजमा क्रमअनुसार लिइएका दुई भुजाहरूले जनाउने भेक्टरहरूको जोड बाँकी भुजाको विपरित क्रमले प्रतिनिधित्व गरेको भेक्टरसँग बराबर हुन्छ।
The sum of vectors represented by two sides in an order is equal to the vector represented by remaining side taken in opposite order.
$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$
त्रिभुज नियमको चित्र (Diagram of Triangle Law):
भेक्टर जोडको समानान्तर चतुर्भुज नियम (Parallelogram Law of Vector Addition)
समानान्तर चतुर्भुजमा एउटै बिन्दुबाट सुरु भएका आसन्न भुजाहरूले जनाउने भेक्टरहरूको जोड सोही बिन्दुबाट सुरू भएको विकर्णले जनाउने भेक्टरसँग बराबर हुन्छ।
The sum of two co-initial vectors represented by the adjacent sides of a parallelogram is equal to the vector represented by co-initial diagonal.
$$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$$
चित्रको व्याख्या (Diagram Explanation):
मानौं ABCD एउटा समानान्तर चतुर्भुज हो जसमा:
• $\vec{AB}$ र $\vec{AD}$ आसन्न भुजाहरू हुन्
• $\vec{AC}$ विकर्ण हो
• तब $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ हुन्छ
भेक्टर जोडको बहुभुज नियम (Polygon Law of Vector Addition)
एउटा बहुभुजको क्रममा लिइएका भुजाहरूले जनाउने भेक्टरहरूको जोड अन्तिम भुजाको विपरित क्रमले जनाउने भेक्टरसँग बराबर हुन्छ।
The polygon law of vector addition states that if vectors represented by the sides of a polygon taken in order, then the resultant vector is the vector represented by the closing side of the polygon taken in opposite order.
$$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AE}$$
यो नियमले भन्छ कि बहुभुजका भुजाहरूले जनाउने भेक्टरहरूको योगफल अन्तिम भुजाको विपरित दिशामा लिइएको भेक्टरसँग बराबर हुन्छ।
5. विभाजन सूत्रहरू (Section Formulae)
भित्री विभाजन सूत्र (Internal Section Formula)
बिन्दु P ले रेखाखण्ड AB लाई $m:n$ को अनुपातमा भित्री रूपमा विभाजन गर्दा P को स्थिति भेक्टर:
$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$$
व्याख्या (Explanation):
• $\vec{a}$ = बिन्दु A को स्थिति भेक्टर (Position vector of point A)
• $\vec{b}$ = बिन्दु B को स्थिति भेक्टर (Position vector of point B)
• $\vec{p}$ = बिन्दु P को स्थिति भेक्टर (Position vector of point P)
• $m:n$ = विभाजन अनुपात (Section ratio)
बाहिरी विभाजन सूत्र (External Section Formula)
बिन्दु P ले रेखाखण्ड AB लाई $m:n$ को अनुपातमा बाहिरी रूपमा विभाजन गर्दा P को स्थिति भेक्टर:
$$\vec{p} = \frac{m\vec{b} – n\vec{a}}{m – n}$$
नोट (Note):
बाहिरी विभाजनमा विभाजन अनुपात ऋणात्मक हुन्छ (In external section, the division ratio is negative)
मध्यबिन्दु सूत्र (Mid-point Formula)
बिन्दु M ले रेखाखण्ड AB लाई बीचमा विभाजन गर्दा ($m:n = 1:1$), M को स्थिति भेक्टर:
$$\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$
यो भित्री विभाजन सूत्रको विशेष अवस्था हो जहाँ $m = n = 1$ हुन्छ।
(This is a special case of internal section formula where $m = n = 1$.)
त्रिभुजको गुरुत्वकेन्द्र (Centroid of Triangle)
यदि $\vec{a}$, $\vec{b}$ र $\vec{c}$ हरू $\Delta ABC$ का शीर्षहरूको स्थिति भेक्टरहरू भए यसको गुरुत्वकेन्द्रको स्थिति भेक्टर:
$$\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$
व्याख्या (Explanation):
• $\vec{a}$ = बिन्दु A को स्थिति भेक्टर
• $\vec{b}$ = बिन्दु B को स्थिति भेक्टर
• $\vec{c}$ = बिन्दु C को स्थिति भेक्टर
• $\vec{OG}$ = मूलबिन्दु O देखि गुरुत्वकेन्द्र G सम्मको स्थिति भेक्टर
6. भेक्टरका गुणधर्महरू (Properties of Vectors)
स्केलर गुणनफलका गुणधर्महरू (Properties of Scalar Product)
| गुणधर्म (Property) | सूत्र (Formula) | विवरण (Description) |
|---|---|---|
| क्रमविनिमेयता (Commutative) |
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ | भेक्टरहरूको क्रम परिवर्तन गर्दा गुणनफल परिवर्तन हुँदैन |
| वितरणात्मक (Distributive) |
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ | भेक्टर योगफलमा स्केलर गुणनफल वितरण गर्न सकिन्छ |
| अदिश गुणन (Scalar Multiplication) |
$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$ | अदिश सङ्ख्याले भेक्टरलाई गुणन गर्न सकिन्छ |
| सकारात्मक निश्चित (Positive Definite) |
$\vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0$ | भेक्टरको आफैंसँगको गुणनफल सधैं धनात्मक हुन्छ |
महत्त्वपूर्ण बुँदाहरू (Important Points)
1. स्केलर गुणनफल सधैं एउटा अदिश राशि हुन्छ (Scalar product is always a scalar quantity)
2. लम्ब भेक्टरहरूको स्केलर गुणनफल शून्य हुन्छ (Scalar product of perpendicular vectors is zero)
3. समानान्तर भेक्टरहरूको स्केलर गुणनफल तिनीहरूको परिमाणहरूको गुणनफल हुन्छ (Scalar product of parallel vectors is product of their magnitudes)
4. $\cos 0^\circ = 1$ र $\cos 90^\circ = 0$ भएकाले, समानान्तर भेक्टरहरूको लागि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$ र लम्ब भेक्टरहरूको लागि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ हुन्छ
7. उदाहरणहरू (Examples)
Example 1: स्केलर गुणनफल (Scalar Product)
If $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ and $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}$, find $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Solution:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \times 5) + (4 \times -2)$
$= 15 + (-8)$
$= 7$
∴ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$
Example 2: भेक्टरहरूबिचको कोण (Angle Between Vectors)
If $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ and $\vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, find the angle between them.
Solution:
$\vec{p} \cdot \vec{q} = (1\times3) + (2\times4) = 3 + 8 = 11$
$|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$|\vec{q}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| |\vec{q}|} = \frac{11}{\sqrt{5} \times 5} = \frac{11}{5\sqrt{5}}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{11}{5\sqrt{5}}\right)$
Example 3: मध्यबिन्दु (Mid-point)
Find the position vector of the midpoint of the line joining points with position vectors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ and $\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}$.
Solution:
Mid-point formula: $\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$
$\vec{m} = \frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\right)$
$= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 8 \\ 10 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
∴ Midpoint position vector = $\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$
Example 4: भित्री विभाजन (Internal Section)
Find the position vector of point P which divides the line joining A(2,3) and B(6,7) in the ratio 1:3 internally.
Solution:
$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}$, $m=1$, $n=3$
Internal section formula: $\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n}$
$\vec{p} = \frac{3\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{1 + 3}$
$= \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4}$
$= \frac{\begin{pmatrix} 12 \\ 16 \end{pmatrix}}{4} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
∴ P को स्थिति भेक्टर = $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
Example 5: गुरुत्वकेन्द्र (Centroid)
Find the centroid of triangle with vertices A(1,2), B(3,4), and C(5,6).
Solution:
Position vectors:
$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$
Centroid formula: $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{OG} = \frac{1}{3}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}\right)$
$= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1+3+5 \\ 2+4+6 \end{pmatrix}$
$= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
∴ Centroid = (3,4)
8. Full Chapter PDF Manual
Access the complete PDF manual with exercises, examples, and detailed explanations on Vectors, Scalar Product, and Vector Geometry.