कक्षा १० विज्ञान: चाल र बल (Motion and Force)

उत्तर: ब्रह्माण्डमा रहेका कुनै पनि दुई पिण्डहरूले एक अर्कालाई आफ्नो केन्द्रतिर आकर्षण गर्ने बललाई गुरुत्वाकर्षण भनिन्छ।

उत्तर: न्युटनको गुरुत्वाकर्षणसम्बन्धी विश्वव्यापी नियमअनुसार, “ब्रह्माण्डमा रहेका कुनै पनि दुई वस्तुबिच उत्पन्न हुने गुरुत्वाकर्षण बल ती दुई वस्तुका पिण्डहरूको गुणनफलसँग समानुपातिक र ती दुई वस्तुबिचको दुरीको वर्गसँग व्युत्क्रमानुपातिक हुन्छ।”

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{d^2} \]

उत्तर: गुरुत्वाकर्षण बल एक आकर्षण बल हो जसले सधैँ दुई वस्तुहरूलाई एक अर्कातिर तान्दछ। यो एक केन्द्रीय बल हो, अर्थात् यसले दुई वस्तुको केन्द्रहरू जोड्ने रेखामा कार्य गर्दछ। यो ब्रह्माण्डको सबैभन्दा कमजोर आधारभूत बल हो तर यसको प्रभाव अनन्तसम्म हुन्छ।

उत्तर: एकाइ दुरी (१ मिटर) मा राखिएका दुईवटा एकाइ पिण्ड (१ केजी) भएका वस्तुहरूबीच उत्पन्न हुने गुरुत्वाकर्षण बलको मानलाई गुरुत्वाकर्षण अचर (G) भनिन्छ।

उत्तर: जब दुईवटा १ केजी पिण्ड भएका वस्तुहरूलाई एकअर्काबाट १ मिटरको दुरीमा राखिन्छ, तब तिनीहरूबीच उत्पन्न हुने गुरुत्वाकर्षण बल (F) गुरुत्वाकर्षण अचर (G) सँग बराबर हुन्छ।

\[ F = G \frac{1 \times 1}{1^2} \implies F = G \]

उत्तर:

1. गुरुत्वाकर्षण बलले गर्दा सौर्यमण्डलका ग्रहहरू सूर्यको वरिपरि र चन्द्रमा पृथ्वीको वरिपरि घुम्छन्।
2. गुरुत्वाकर्षण बलले गर्दा पृथ्वीमा वस्तुहरूको तौल हुन्छ र वस्तुहरू सतहमा अडिएर रहन्छन्।

उत्तर:

मानौँ सुरुको बल \( F_1 = G \frac{m_1 m_2}{d^2} \)

नयाँ पिण्डहरू \( m_1′ = 2m_1 \) र \( m_2′ = 2m_2 \)

नयाँ दुरी \( d’ = d/4 \)

अब, नयाँ बल \( F_2 = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{(d/4)^2} = G \frac{4m_1 m_2}{d^2/16} = 16 \times 4 \times G \frac{m_1 m_2}{d^2} = 64 F_1 \)

तसर्थ, गुरुत्वाकर्षण बल ६४ गुणाले बढ्छ।

उत्तर: पृथ्वी वा कुनै अन्य ग्रह/उपग्रहले आफ्नो नजिकका वस्तुहरूलाई आफ्नो केन्द्रतिर तान्ने गुरुत्वाकर्षण बललाई गुरुत्व बल भनिन्छ। सामान्यतया, यो वस्तुको तौल बराबर हुन्छ।

उत्तर: स्वतन्त्र रूपले खसिरहेको वस्तुमा गुरुत्व बलद्वारा उत्पन्न हुने प्रवेगलाई गुरुत्व प्रवेग भनिन्छ।

उत्तर: कुनै पनि अवरोधबिना केवल गुरुत्व बलको प्रभावमा वस्तु खस्ने प्रक्रियालाई स्वतन्त्र खसाइ भनिन्छ।

उदाहरणहरू:

1. शून्य स्थानमा (vacuum) खसिरहेको प्वाँख र सिक्का।
2. पृथ्वीको परिक्रमा गरिरहेको अन्तरिक्ष यानभित्रका वस्तुहरू।

उत्तर: जब वस्तुमा गुरुत्व बलबाहेक अन्य कुनै पनि बल (जस्तै हावाको अवरोध) लाग्दैन, तब वस्तुको खसाइ स्वतन्त्र हुन्छ। यो अवस्था शून्य स्थान (vacuum) मा मात्र पूर्ण रूपमा सम्भव छ।

उत्तर: प्वाँख र सिक्का प्रयोगको निष्कर्ष यो हो कि शून्य स्थानमा (हावाको अवरोध नहुँदा) सबै वस्तुहरू, तिनीहरूको पिण्ड वा आकार जे भए पनि, समान गुरुत्व प्रवेगले खस्छन् र एकैसाथ भुइँमा पुग्छन्। यसले प्रमाणित गर्छ कि गुरुत्व प्रवेग वस्तुको पिण्डमा निर्भर हुँदैन।

उत्तर: स्वतन्त्र खसाइको अवस्थामा रहेको वस्तुले अनुभव गर्ने तौल शून्य भएको अवस्थालाई तौलविहीनता भनिन्छ। यस्तो अवस्थामा वस्तुले कुनै सतहमा बल प्रयोग गर्दैन र तौलको अनुभव हुँदैन।

उत्तर:

1. वस्तुहरूको तौल हुनु।
2. पृथ्वीको वरिपरि वायुमण्डल रहनु।
3. नदीनालामा पानी तलतिर बग्नु।
4. स्वतन्त्र रूपले खस्ने वस्तुमा प्रवेग उत्पन्न हुनु।

उत्तर:
हामीलाई थाहा छ,
गुरुत्व बल, F=mg — (i)
गुरुत्वाकर्षण बल, F=G(R²/Mm) — (ii)
समीकरण (i) र (ii) बाट,
mg=G(R²/Mm)
⟹g=(GM)/R²
यहाँ G र M स्थिर राशि हुन्। त्यसैले, g∝1/R²
यसले प्रमाणित गर्छ कि गुरुत्व प्रवेगको मान पृथ्वीको अर्धव्यासको वर्गसँग व्युत्क्रमानुपातिक हुन्छ।

उत्तर:

1. पृथ्वीको अर्धव्यास: पृथ्वीको सतहमा गुरुत्व प्रवेग अर्धव्यासको वर्गसँग व्युत्क्रमानुपातिक हुन्छ।
2. उचाइ: पृथ्वीको सतहबाट उचाइ बढ्दै जाँदा गुरुत्व प्रवेगको मान घट्छ।
3. गहिराइ: पृथ्वीको सतहबाट गहिराइमा जाँदा पनि गुरुत्व प्रवेगको मान घट्छ।
4. पृथ्वीको बनावट: पृथ्वी पूर्ण गोलाकार नभएकाले ध्रुव र भूमध्यरेखामा गुरुत्व प्रवेगको मान फरक हुन्छ।

उत्तर: पृथ्वीको सतहमा गुरुत्व प्रवेग 9.8 m/s² हुन्छ भन्नुको अर्थ, स्वतन्त्र रूपले पृथ्वीतिर खसिरहेको वस्तुको गति प्रत्येक सेकेन्डमा 9.8 मिटर प्रति सेकेन्डको दरले बढ्दै जान्छ।

उत्तर: यो प्रश्नमा त्रुटि छ। चन्द्रमाको पिण्ड पृथ्वीभन्दा ८१ गुणा कम छ। पृथ्वीलाई चन्द्रमाको आयतनमा खाँद्न सकिँदैन। यदि प्रश्न चन्द्रमाको गुरुत्व प्रवेग निकाल्ने हो भने:
g_moon = G(Re/3.7)²Me/81 = (81/3.7²)(GRe²/Me) = (81/13.69)g_earth ≈ 6g_earth
अर्थात्, चन्द्रमाको गुरुत्व प्रवेग पृथ्वीको भन्दा लगभग ६ गुणा कम हुन्छ।

उत्तर: उक्त स्थानमा 10 kg को वस्तुमा हुने गुरुत्व प्रवेग पनि 2 m/s² नै हुन्छ।
तर्क: गुरुत्व प्रवेग कुनै पनि खगोलीय पिण्डको गुरुत्व क्षेत्रको विशेषता हो र यो खस्ने वस्तुको पिण्डमा निर्भर हुँदैन। त्यसैले, सोही स्थानमा जुनसुकै पिण्डको वस्तुमा पनि समान गुरुत्व प्रवेग उत्पन्न हुन्छ।

उत्तर:
• पिण्ड: वस्तुको पिण्ड हिमाल र तराई दुवै ठाउँमा समान रहन्छ, किनकि पिण्ड वस्तुमा भएको पदार्थको मात्रा हो र यो स्थानअनुसार परिवर्तन हुँदैन।
• तौल: हिमाल (उच्च स्थान) मा गुरुत्व प्रवेग (g) को मान कम हुन्छ भने तराई (होचो स्थान) मा ‘g’ को मान बढी हुन्छ। तसर्थ, वस्तुको तौल हिमालमा भन्दा तराईमा बढी हुन्छ।

उत्तर: यो युक्ति वैज्ञानिक रूपमा सही छ।
कारण: पहाडी भेगमा गुरुत्व प्रवेग (g) को मान तराईको भन्दा कम हुन्छ। डिजिटल तराजुले तौल (mg) नाप्छ र त्यसलाई ‘g’ ले भाग गरेर पिण्ड देखाउँछ (तर सामान्यतया स्थानीय ‘g’ को मानमा क्यालिब्रेट गरिएको हुन्छ)। यदि एउटै तराजु प्रयोग गर्ने हो भने, पहाडमा किनेको सुन्तला (जहाँ ‘g’ कम छ) को पिण्ड तराई (जहाँ ‘g’ बढी छ) मा जोख्दा बढी देखिन्छ। यसरी पिण्ड बढेको देखिँदा उसलाई फाइदा हुन्छ।

उत्तर:
• पृथ्वीमा: प्यारासुटको ठूलो सतहले हावाको अवरोध (drag force) उत्पन्न गर्छ। यो अवरोध खस्ने गति बढ्दै जाँदा बढ्छ र एक अवस्थामा वस्तुको तौल बराबर हुन्छ। त्यसपछि, वस्तुको प्रवेग शून्य हुन्छ र यो एक स्थिर, ढिलो गति (terminal velocity) ले सुरक्षित रूपमा अवतरण गर्दछ।
• चन्द्रमामा: चन्द्रमामा वायुमण्डल छैन। त्यसैले हावाको अवरोध हुँदैन। प्यारासुटले काम गर्दैन र वस्तु स्वतन्त्र रूपले खस्छ, जसले गर्दा सुरक्षित अवतरण सम्भव हुँदैन।

उत्तर:
• गुड्दै गरेको वस्तु: न्युटनको दोस्रो चाल नियम (F=ma or a=F/m) अनुसार, समान बल लगाउँदा, प्रवेग वस्तुको पिण्डसँग व्युत्क्रमानुपातिक हुन्छ। बढी पिण्ड भएको वस्तुमा कम प्रवेग उत्पन्न हुन्छ।
• खसिरहेको वस्तु: खसिरहेको वस्तुमा लाग्ने गुरुत्व बल (F=mg) आफैँ पिण्डसँग समानुपातिक हुन्छ। गुरुत्व प्रवेग (g=F/m) गणना गर्दा वस्तुको पिण्ड (m) काटिन्छ (g=GmR²Mm=R²GM)। त्यसैले, गुरुत्व प्रवेग खस्ने वस्तुको पिण्डमा निर्भर हुँदैन।

दिइएको छ,
\( m_1 = 20 \, \text{kg} \)
\( m_2 = 40 \, \text{kg} \)
\( d = 5 \, \text{m} \)
\( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \)

सूत्र: \( F = G \frac{m_1 m_2}{d^2} \)

\[ F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{20 \times 40}{5^2} \]

\[ F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{800}{25} \]

\[ F = 6.67 \times 10^{-11} \times 32 \]

\[ F = 213.44 \times 10^{-11} \, \text{N} = 2.134 \times 10^{-9} \, \text{N} \]

उत्तर: 3.14 × 10⁻¹¹ N

दिइएको छ,
\( M_s = 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \)
\( M_j = 1.9 \times 10^{27} \, \text{kg} \)
\( d = 7.8 \times 10^8 \, \text{km} = 7.8 \times 10^{11} \, \text{m} \)

\[ F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{(2 \times 10^{30}) \times (1.9 \times 10^{27})}{(7.8 \times 10^{11})^2} \]

\[ F = \frac{25.346 \times 10^{46}}{60.84 \times 10^{22}} \]

\[ F = 4.17 \times 10^{23} \, \text{N} \]

दिइएको छ,
\( F = 2.01 \times 10^{20} \, \text{N} \)
\( d = 3.84 \times 10^5 \, \text{km} = 3.84 \times 10^8 \, \text{m} \)
\( M_e = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)

\[ m_m = \frac{F \times d^2}{G \times M_e} \]

\[ m_m = \frac{(2.01 \times 10^{20}) \times (3.84 \times 10^8)^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24})} \]

\[ m_m = 7.45 \times 10^{22} \, \text{kg} \]

दिइएको छ,
\( F = 3.54 \times 10^{22} \, \text{N} \)
\( M_e = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
\( M_s = 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \)

\[ d = \sqrt{\frac{G \times M_e \times M_s}{F}} \]

\[ d = \sqrt{\frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24}) \times (2 \times 10^{30})}{3.54 \times 10^{22}}} \]

\[ d = 1.5 \times 10^{11} \, \text{m} \]

दिइएको छ,
\( m_m = 7.342 \times 10^{22} \, \text{kg} \)
\( d = 384400 \, \text{km} = 3.844 \times 10^8 \, \text{m} \)

\[ F = G \frac{m_m \times 1}{d^2} \]

\[ F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{7.342 \times 10^{22}}{(3.844 \times 10^8)^2} \]

\[ F = 3.314 \times 10^{-5} \, \text{N} \]

दिइएको छ,
\( m_m = 7.342 \times 10^{22} \, \text{kg} \)
\( R_m = 1737 \, \text{km} = 1.737 \times 10^6 \, \text{m} \)

\[ g_m = \frac{G \times m_m}{R_m^2} \]

\[ g_m = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.342 \times 10^{22}}{(1.737 \times 10^6)^2} \]

\[ g_m = 1.623 \, \text{m/s}^2 \]

दिइएको छ,
\( M_e = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
\( R_{new} = \frac{3474}{2} = 1737 \, \text{km} = 1.737 \times 10^6 \, \text{m} \)
\( R_{earth} = 6371 \, \text{km} = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \)

\[ \frac{g_{new}}{g_{earth}} = \left( \frac{R_{earth}}{R_{new}} \right)^2 \]

\[ \frac{g_{new}}{g_{earth}} = \left( \frac{6.371 \times 10^6}{1.737 \times 10^6} \right)^2 \]

\[ \frac{g_{new}}{g_{earth}} = 13.45 \]

दिइएको छ,
\( M_{mars} = 6.4 \times 10^{23} \, \text{kg} \)
\( R_{mars} = 3389 \, \text{km} = 3.389 \times 10^6 \, \text{m} \)

\[ g_{mars} = \frac{G \times M_{mars}}{R_{mars}^2} \]

\[ g_{mars} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{(3.389 \times 10^6)^2} \]

\[ g_{mars} = 3.71 \, \text{m/s}^2 \]

\[ W = m \times g_{mars} = 200 \times 3.71 = 742 \, \text{N} \]

दिइएको छ,
\( M_{jupiter} = 319 \times M_{earth} \)
\( R_{jupiter} = 11 \times R_{earth} \)

\[ g_{jupiter} = \frac{G \times M_{jupiter}}{R_{jupiter}^2} = \frac{G \times 319 M_{earth}}{(11 R_{earth})^2} \]

\[ g_{jupiter} = \frac{319}{121} \times \frac{G M_{earth}}{R_{earth}^2} = 2.63 \times g_{earth} \]

\[ g_{jupiter} = 2.63 \times 9.8 = 25.8 \, \text{m/s}^2 \]

\[ W = m \times g_{jupiter} = 100 \times 25.8 = 2580 \, \text{N} \]

दिइएको छ,
\( M_{earth} = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
\( R_{earth} = 6371 \, \text{km} = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \)

मानौं, उपग्रहको उचाइ \( h \) हो।

\[ g = \frac{G M_{earth}}{(R_{earth} + h)^2} = 0.56 \, \text{m/s}^2 \]

यसबाट \( h \) को मान निकाल्न सकिन्छ।

दिइएको छ,
\( M_{earth} = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
\( R_{earth} = 6371 \, \text{km} = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \)
\( h = 8848.86 \, \text{m} \)

\[ d = R_{earth} + h = 6.371 \times 10^6 + 8848.86 = 6.3798 \times 10^6 \, \text{m} \]

\[ g_h = \frac{G M_{earth}}{d^2} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{(6.3798 \times 10^6)^2} \]

\[ g_h = 9.77 \, \text{m/s}^2 \]

\[ W = m \times g_h = 10 \times 9.77 = 97.7 \, \text{N} \]

दिइएको छ,
\( g_{earth} = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)
\( g_{mars} = 3.75 \, \text{m/s}^2 \)

\[ F = m_{earth} \times g_{earth} = 100 \times 9.8 = 980 \, \text{N} \]

\[ m_{mars} = \frac{F}{g_{mars}} = \frac{980}{3.75} = 261.33 \, \text{kg} \]

दिइएको छ,
\( t = 2.5 \, \text{s} \)
\( u = 0 \)

\[ h = ut + \frac{1}{2} g t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.5)^2 \]

\[ h = 4.9 \times 6.25 = 30.625 \, \text{m} \]

दिइएको छ,
\( h = 15 \, \text{m} \)
\( u = 0 \)

\[ h = ut + \frac{1}{2} g t^2 \implies 15 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \implies t = \sqrt{\frac{15}{4.9}} = 1.75 \, \text{s} \]

\[ v^2 = u^2 + 2gh \implies v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 15} = \sqrt{294} = 17.15 \, \text{m/s} \]

दिइएको छ,
\( u = 15 \, \text{m/s} \)
\( v = 0 \)
\( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \)

\[ v^2 = u^2 + 2gh \implies 0 = 15^2 + 2(-9.8)h \implies h = \frac{225}{19.6} = 11.47 \, \text{m} \]