Unit 1: Algebra – महत्त्वपूर्ण परिभाषाहरू र सूत्रहरू
Complete Formulas, Definitions & Notes
Introduction
Unit 1: Algebra covers five major chapters with comprehensive definitions, formulas, and applications. This unit is fundamental for higher mathematics and problem-solving techniques.
1. फलन (FUNCTION)
1. संयुक्त फलन (Composite Function)
यदि फलनहरू $f: A \to B$ र $g: B \to C$ भए $A$ बाट $C$ मा परिभाषित गरिएको फलनलाई $f$ र $g$ को संयुक्त फलन भनिन्छ । यसलाई $gof$ ले जनाइन्छ ।
If $f: A \to B$ and $g: B \to C$ are two functions, then the new function defined from $A$ to $C$ is called the composite function of $f$ and $g$. It is denoted by $gof$.
2. विपरीत फलन (Inverse Function)
यदि $f: A \to B$ एक एक सम्पूर्ण फलन भए $B$ बाट $A$ मा परिभाषित गरिएको फलनलाई $f$ को विपरीत फलन भनिन्छ ।
If $f$ is a one-to-one onto function from $A$ to $B$, then the inverse function $f^{-1}$ is defined as a function from $B$ to $A$.
e.g. If $f = \{(1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 5)\}$ then $f^{-1} = \{(1, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)\}$
3. बीजीय फलन (Algebraic Function)
दुईओटा चलहरू $x$ र $y$ को सम्बन्ध प्रस्तुत गर्ने र कुनै नियममा आधारित फलनलाई बीजीय फलन भनिन्छ । जस्तै: $y = x + 2$
The function which describes correspondence between two variables which are obtained by finite rules is called an algebraic function. e.g. $y = x + 2$.
4. रेखीय फलन र अचर फलन (Linear Function and Constant Function)
$f(x) = mx + c$ को रूपमा रहेको बीजीय फलनलाई रेखीय फलन भनिन्छ । यदि $m = 0$ भए यसलाई अचर फलन भनिन्छ ।
A function is called linear if it can be defined by an equation of the form $f(x) = mx + c$. If $m = 0$, then it is called a constant function.
5. वर्ग फलन (Quadratic Function)
$f(x) = ax^2 + bx + c; a \neq 0$ को रूपमा व्यक्त गर्न सकिने फलनलाई वर्ग फलन भनिन्छ ।
A function is said to be quadratic if it can be defined by an equation of the form $f(x) = ax^2 + bx + c; a \neq 0$.
6. एकात्मक फलन (Identity function)
$x \in A$ को लागि $f(x) = x$ को रूपमा व्यक्त गर्न सकिने फलन $f: A \to B$ लाई एकात्मक फलन भनिन्छ । यसलाई $I$ ले जनाइन्छ ।
A function $f: A \to B$ is said to be an identity function if it can be expressed in the form of $f(x) = x$ for all $x \in A$. It is denoted by $I$.
मुख्य बुँदाहरू (Key Points)
1. यदि $f(x) = ax + b$ भए $f^{-1}(x) = \frac{x – b}{a}$ हुन्छ ।
(If $f(x) = ax + b$ then $f^{-1}(x) = \frac{x – b}{a}$.)
2. यदि $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ भए $f^{-1}(x) = \frac{b – dx}{cx – a}$ हुन्छ ।
(If $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ then $f^{-1}(x) = \frac{b – dx}{cx – a}$.)
3. $gof(x) = (gof)(x) = g(f(x))$
4. $fog(x) = (fog)(x) = f(g(x))$
5. $f^2(x) = fof = f(f(x))$
6. $f^3(x) = fofof = f(f(f(x)))$
7. $ho(gof) = ho(gof)(x) = (hog)of(x) = h(g(f(x)))$
8. $(f \pm k)(x) = f(x) \pm k$; where $k$ is a scalar.
9. $(kf)(x) = k(f(x))$; where $k$ is a scalar.
2. बहुपदीय (POLYNOMIAL)
1. बहुपदीय (Polynomial)
बहुपदीय भनेको एउटा अनुपातिक अभिव्यञ्जक हो जसका प्रत्येक पदहरूमा धनात्मक घात भएका चललाई अचरले गुणा गरिएको हुन्छ । यसको स्तरीय स्वरूपलाई निम्नानुसार व्यक्त गर्न सकिन्छ । $p(x) = a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + …… + a_n x^n$ जहाँ $a_0, a_1, ….., a_n$ हरू अचर हुन् भने $x$ चल हो ।
A polynomial is a rational expression each of whose terms consists of a constant multiplied by a positive power of a variable. Its standard form is: $p(x) = a_0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + …… + a_n x^n$, where $a_0, a_1, a_2 ……., a_n$ are constants and $x$ is a variable, $1, 2, 3, …..n$ are the powers of the variable.
2. शेष साध्य (Remainder Theorem)
यदि $p(x)$ डिग्री $n$ भएको बहुपदीय र $p(x)$ को एउटा भाजक $(x – a)$ भए $p(a) = \text{शेष}$ हुन्छ । जहाँ भागफल $q(x)$ को डिग्री $(n – 1)$ हुन्छ ।
If $p(x)$ is a polynomial of degree $n$ and $(x – a)$ is a divisor of $p(x)$ then $p(a)$ is the remainder, where the degree of the quotient will be $(n – 1)$.
3. गुणनखण्ड साध्य (Factor Theorem)
यदि $p(x)$ डिग्री $> 0$ भएको एउटा बहुपदीय र $p(a) = 0$ भए $p(x)$ को एउटा गुणनखण्ड $(x – a)$ हुन्छ । विलोमको रूपमा यदि $p(x)$ को एउटा गुणनखण्ड $(x – a)$ भए $p(a) = 0$ हुन्छ ।
If $p(x)$ be a polynomial degree $> 0$ and $p(a) = 0$ then $(x – a)$ is a factor of $p(x)$. Conversely if $x – a$ is a factor of $p(x)$, then $p(a) = 0$.
4. भागको बिधि (Division Algorithm)
यदि बहुपदीय $P(x)$ लाई $D(x)$ ले भाग गर्दा भागफल $Q(x)$ र शेष $R$ भए, $P(x) = D(x) \times Q(x) + R$ हुन्छ ।
If a polynomial $P(x)$ is divided by $D(x)$ so that the quotient is $Q(x)$ and remainder $R$ then, $P(x) = D(x) \times Q(x) + R$.
मुख्य बुँदाहरू (Key Points)
शेषसाध्य (Remainder Theorem):
यदि $p(x)$ लाई $(x – a)$ ले भाग गरियो भने $\text{शेष} = p(a)$ हुन्छ । (If $p(x)$ is divided by $(x – a)$ then the remainder $= p(a)$.)
| भाजक (Divisor) | शेष (Remainder) |
|---|---|
| $x + a \quad i.e. \quad x – (-a)$ | $p(-a)$ |
| $ax – b \quad i.e. \quad a\left(x – \frac{b}{a}\right)$ | $p\left(\frac{b}{a}\right)$ |
| $ax + b \quad i.e. \quad a\left(x + \frac{b}{a}\right)$ | $p\left(-\frac{b}{a}\right)$ |
| $b – ax \quad i.e. \quad -a\left(x – \frac{b}{a}\right)$ | $p\left(\frac{b}{a}\right)$ |
गुणनखण्ड साध्य (Factor Theorem)
(i) यदि $p(x)$ को एउटा गुणनखण्ड $(x – a)$ भए $p(a) = 0$ हुन्छ । (If $(x – a)$ is a factor of $p(x)$ then $p(a) = 0$.)
(ii) यदि $p(a) = 0$ भए $p(x)$ को एउटा गुणनखण्ड $(x – a)$ हुन्छ । (If $p(a) = 0$ then $(x – a)$ is a factor of $p(x)$.)
3. अनुक्रम र श्रेणी (SEQUENCE & SERIES)
परिभाषाहरू (Definitions)
अनुक्रम (Sequence)
कुनै निश्चित नियममा आधारित सङ्ख्याहरूको समूहलाई अनुक्रम भनिन्छ । जस्तै: $3, 5, 7………….$
A list of numbers in a definite order is called a sequence. e.g. $3, 5, 7………….$
श्रेणी (Series)
यदि अनुक्रमका पदहरूलाई योगफलको रूपमा व्यक्त गरिएमा त्यसलाई उक्त क्रमसँग सम्बन्धित श्रेणी भनिन्छ । जस्तै: $2 + 4 + 6 + 8 ……..$ एउटा श्रेणी हो ।
When the terms of a sequence are connected by addition and subtraction signs: e.g. $2 + 4 + 6 + 8 ……..$ which is a series.
अङ्कगणितीय या समानान्तरीय अनुक्रम (Arithmetic Sequence)
यदि कुनै अनुक्रमको प्रत्येक पद अघिल्लो पदभन्दा कुनै निश्चित सङ्ख्याले बढिरहेका वा घटिरहेका हुन्छन् भने त्यस्तो अनुक्रमलाई समानान्तरीय अनुक्रम भनिन्छ । यो अनुक्रमसँग सम्बन्धित श्रेणीलाई समानान्तरीय श्रेणी भनिन्छ । जस्तै: $3, 7, 11, 15, …………..$ एउटा समानान्तरीय श्रेणी हो ।
A sequence is said to be an arithmetic sequence when its terms increase or decrease continually by a common difference. The corresponding series of this sequence is called the arithmetic sequence. e.g. $3, 7, 11, 15, …………$ is an arithmetic sequence.
अङ्कगणितीय मध्यमा (Arithmetic Mean)
समानान्तरीय अनुक्रमका पहिलो पद र अन्तिम पद बिचको पद वा पदहरूलाई समानान्तरीय मध्यमा भनिन्छ । जस्तै: $3, 7, 11, 15, 19, 23$ एउटा समानान्तरीय श्रेणी भए $7, 11, 15, 19$ समानान्तरीय मध्यमाहरू हुन् ।
In an arithmetic sequence the term/terms between the first term and the last term is/are called arithmetic mean/means, e.g. if $3, 7, 11, 15, 19, 23$ are in arithmetic sequence then $7, 11, 15, 19$ are arithmetic means.
समानान्तरीय अनुक्रम वा श्रेणी (AS): Arithmetic Sequence or Series (AS)
| सङ्केत (Index) | सूत्र (Formula) |
|---|---|
| साधारण पद (General term) | $t_n = a + (n – 1)d$ |
| मध्यमा (Mean) | $AM = \frac{a + b}{2}$ |
| मध्यमाहरू (Means) | $d = \frac{b – a}{n + 1}; m_1 = a + d, m_2 = a + 2d, …, m_n = a + nd$ |
| योगफल (Sum) | $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n – 1)d\}$ or $S_n = \frac{n}{2} (a + b)$ |
AS का पदहरूलाई सङ्केत गर्ने सजिलो तरिका (The easy method to denote the terms of AS):
| पदहरूको सङ्ख्या (Number of terms) | पदहरू (Terms) | समान अन्तर (Common Difference) |
|---|---|---|
| 3 | $a – d, a, a + d$ | $d$ |
| 4 | $a – 3d, a – d, a + d, a + 3d$ | $2d$ |
| 5 | $a – 2d, a – d, a, a + d, a + 2d$ | $d$ |
विशेष योगफलहरू (Special Sums):
पहिला $n$ ओटा प्राकृतिक सङ्ख्याहरूको योगफल
$= \frac{n}{2}(n + 1)$
पहिला $n$ ओटा बिजोर सङ्ख्याहरूको योगफल
$= n^2$
पहिला $n$ ओटा जोर सङ्ख्याहरूको योगफल
$= n(n + 1)$
गुणोत्तर अनुक्रम र श्रेणी (GEOMETRIC SEQUENCE & SERIES)
गुणोत्तर अनुक्रम (Geometric sequence)
यदि अनुक्रममा क्रमिक पदहरूको अनुपात एउटै भए यस्तो अनुक्रमलाई गुणोत्तर अनुक्रम भनिन्छ र यो अनुक्रमसँग सम्बन्धित श्रेणीलाई गुणोत्तर श्रेणी भनिन्छ । जस्तै: $1, 2, 4, 8………$ र $16, 8, 4 ………$ इत्यादि गुणोत्तर अनुक्रममा छन् ।
Quantities are said to be in geometric sequence when they increase or decrease by a constant factor. The constant factor is called the common ratio, e.g. $1, 2, 4, 8……….$ and $16, 8, 4 ………$ etc. are in geometric sequence.
गुणोत्तर मध्यमा (Geometric Mean)
गुणोत्तर अनुक्रममा पहिलो पद र अन्तिम पदहरूबिचको पद या पदहरूलाई गुणोत्तर मध्यमा भनिन्छ ।
In geometric sequence the term/terms between the first term and the last term is/are called the geometric mean/means.
गुणोत्तर अनुक्रम वा श्रेणी (GS) – Geometric Sequence or Series (GS)
| सङ्केत (Index) | सूत्र (Formula) |
|---|---|
| साधारण पद (General term) | $t_n = ar^{n – 1}$ |
| मध्यमा (Mean) | $G.M. = \sqrt{ab}$ |
| मध्यमाहरू (Means) | $r = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n+1}}; m_1 = ar, m_2 = ar^2, …….., m_n = ar^n$ |
| योगफल (Sum) | $S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$ Or $S_n = \frac{br – a}{r – 1}$ |
GS का पदहरूलाई सङ्केत गर्ने सजिलो तरिका (The easy method to denote the terms of GS):
| पदहरूको सङ्ख्या (Number of terms) | पदहरू (Terms) | समान अनुपात (Common ratio) |
|---|---|---|
| 3 | $\frac{a}{r}, a, ar$ | $r$ |
| 4 | $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ | $r^2$ |
| 5 | $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ | $r$ |
| 6 | $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3, ar^5$ | $r^2$ |
समानान्तरीय र गुणोत्तर मध्यक सम्बन्ध (Relation between AM and GM):
यदि दुई सङ्ख्याहरू $a$ र $b$ बिचको समानान्तरीय मध्यक $= AM$ र गुणोत्तर मध्यक $= GM$ भए,
(i) पहिलो सङ्ख्या $(a) = AM – \sqrt{AM^2 – GM^2}$
(i) $1^{st}$ number $(a) = AM – \sqrt{AM^2 – GM^2}$
(ii) दोस्रो सङ्ख्या $(b) = AM + \sqrt{AM^2 – GM^2}$ हुन्छ ।
(ii) $2^{nd}$ number $(b) = AM + \sqrt{AM^2 – GM^2}$
4. समीकरण र लेखाचित्र (EQUATION AND GRAPH)
परिभाषाहरू (Definitions)
रेखीय समीकरण (Linear Equation)
$y = mx + c, m \neq 0$ स्वरूपको समीकरणलाई रेखीय समीकरण भनिन्छ । जस्तै: $y = 4x + 5, y = x – 1$ इत्यादि रेखीय समीकरणहरू हुन् ।
An equation of the form $y = mx + c; m \neq 0$ is called a linear equation, e.g. $y = 4x + 5, y = x – 1$ etc. are linear equations.
वर्गफलन (Quadratic function)
$f(x) = ax^2 + bx + c; a \neq 0$ स्वरूपको फलनलाई वर्ग फलन भनिन्छ । जस्तै: $f(x) = 2x^2 + 3x + 5, f(x) = x^2$ इत्यादि वर्ग फलनहरू हुन् ।
A function of the form $f(x) = ax^2 + bx + c; a \neq 0$ is called a quadratic function. e.g. $f(x) = 2x^2 + 3x + 5, f(x) = x^2$ etc. are quadratic functions.
घन फलन (Cubic function)
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; a \neq 0$ स्वरूपको फलनलाई घन फलन भनिन्छ । जस्तै: $y = x^3, y = 2x^3 + 5$ इत्यादि घन फलनहरू हुन् ।
A function of the form $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d; a \neq 0$ is called a cubic function, e.g. $y = x^3, y = 2x^3 + 5$ etc. are cubic functions.
पाराबोलाको शीर्षबिन्दु (Vertex of Parabola):
| S.N. | पाराबोलाको समीकरण (Equation of Parabola) | शीर्षबिन्दु (Vertex) |
|---|---|---|
| 1. | $y = ax^2 + bx + c, a \neq 0$ | $\left(\frac{-b}{2a}, \frac{4ac – b^2}{4a}\right)$ |
| 2. | $y = ax^2 + c, a \neq 0$ | $(0, c)$ |
| 3. | $y = ax^2 + bx; a \neq 0$ | $\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-b^2}{4a}\right)$ |
| 4. | $y = ax^2; a \neq 0$ | $(0, 0)$ |
| 5. | $y = a(x – h)^2 + k$ | $(h, k)$ |
5. रेखीय योजना (LINEAR PROGRAMMING)
परिभाषाहरू (Definitions)
रेखीय योजना (Linear Programming)
रेखीय सर्तहरूको आधारमा रेखीय फलनको अधिकतम वा न्यूनतम मान पत्ता लगाउने गणितीय तरिकालाई रेखीय योजना भनिन्छ ।
Linear programming is the mathematical technique for finding the maximum or minimum value of a linear function subject to the set of linear constraints.
उद्देश्य फलन (Objective Function)
कुनै रेखीय फलनको मान निश्चित सर्तहरू मान्य हुने गरी अधिकतम वा न्यूनतम गरिन्छ । यसरी अधिकतम वा न्यूनतम मान निकाल्नुपर्ने रेखीय फलनलाई उद्देश्य फलन भनिन्छ ।
The linear function which is to be maximized or minimized with respect to given constraints is called objective function.
सूत्रहरू र मुख्य बुँदाहरू (Formulae and Key Points)
$ax + by \leq c$ र $ax + by \geq c$ को सीमा रेखाको समीकरण $ax + by = c$ हुन्छ ।
The equation of boundary line of $ax + by \leq c$ and $ax + by \geq c$ is $ax + by = c$.
$ax + by \leq c$ र $ax + by \geq c$ को हल क्षेत्रहरू परीक्षण बिन्दु लिएर पहिचान गर्नुपर्दछ ।
The solution sets of $ax + by \leq c$ and $ax + by \geq c$ should be identified by taking a test point.
हल क्षेत्र (Solution Set)
$x \geq 0$ र $x \leq 0$ को लेखाचित्र (Graph of $x \geq 0$ and $x \leq 0$)
$y \geq 0$ र $y \leq 0$ को लेखाचित्र (Graph of $y \geq 0$ and $y \leq 0$)
$x \geq 2$ र $x \leq 2$ को लेखाचित्र (Graph of $x \geq 2$ and $x \leq 2$)
$y \geq 2$ र $y \leq 2$ को लेखाचित्र (Graph of $y \geq 2$ and $y \leq 2$)
6. Full Chapter PDF Manual
Access the complete PDF manual with exercises, examples, and detailed explanations.