Unit 4: Coordinate Geometry – दुई सोझा रेखाहरू, जोडा रेखा, वृत्त र शाङ्किक भाग
Angle between Lines, Pair of Straight Lines, Circle, Conic Sections
Introduction to Coordinate Geometry
Unit 4: Coordinate Geometry covers the study of geometric figures using the coordinate plane. This unit includes finding angles between straight lines, understanding pairs of straight lines, exploring conic sections (circle, ellipse, parabola, hyperbola), and detailed study of circles with their equations and properties.
1. दुई सोझा रेखाहरूबीचको कोण (Angle between Two Straight Lines)
रेखाको झुकाव (Slope of a Line)
रेखाको झुकाव भनेको रेखा र धनात्मक X-अक्ष बीचको कोणको tangent हुन्छ ।
The slope of a line is the tangent of the angle which the line makes with the positive direction of X-axis.
झुकाव निकाल्ने सूत्रहरू (Slope Formulas):
- $m = \tan \theta$
- $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ (बिन्दुहरू $(x_1,y_1)$ र $(x_2,y_2)$ बाट)
- $m = -\frac{a}{b}$ ($ax + by + c = 0$ को रूपमा भए)
रेखाका समीकरणहरू (Line Equations):
- $y = mx + c$ (झुकाव-काट रूप)
- $y – y_1 = m(x – x_1)$ (बिन्दु-झुकाव रूप)
- $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (काट रूप)
- $ax + by + c = 0$ (सामान्य रूप)
दुई रेखाहरूबीचको कोण (Angle between Two Lines)
| रेखाहरूको समीकरण (Equation of Lines) | झुकावहरू (Slopes) | कोणको सूत्र (Angle Formula) | अवस्थाहरू (Conditions) |
|---|---|---|---|
| $y = m_1x + c_1$ $y = m_2x + c_2$ |
$m_1$ र $m_2$ | $\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1 m_2} \right)$ |
समानान्तर: $m_1 = m_2$ लम्ब: $m_1 \cdot m_2 = -1$ |
| $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ |
$m_1 = -\frac{a_1}{b_1}$ $m_2 = -\frac{a_2}{b_2}$ |
$\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{a_2 b_1 – a_1 b_2}{a_1 a_2 + b_1 b_2} \right)$ |
समानान्तर: $a_1b_2 = a_2b_1$ लम्ब: $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ |
समानान्तर र लम्ब रेखाहरू (Parallel and Perpendicular Lines)
| सि.नं. | रेखाको समीकरण (Equation of Line) | झुकाव (Slope) | समानान्तर रेखाको समीकरण (Equation of Parallel Line) | लम्ब रेखाको समीकरण (Equation of Perpendicular Line) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | $ax + by = c$ | $m = -\frac{a}{b}$ | $ax + by = k$ | $bx – ay = k$ |
| 2. | $y = mx + c$ | $m$ | $y = mx + k$ | $y = -\frac{1}{m}x + k$ |
| Note: जहाँ $k$ कुनै अचल सङ्ख्या हो । (Where $k$ is any constant.) | ||||
उदाहरण (Example): $6x + 3y = 8$ को लागि:
झुकाव $m = -\frac{6}{3} = -2$
समानान्तर रेखा: $6x + 3y = k$
लम्ब रेखा: $3x – 6y = k$
2. जोडा सीधारेखाहरू (Pair of Straight Lines)
जोडा रेखाको सामान्य समीकरण (General Equation of Pair of Lines)
डिग्री 2 भएको जोडा रेखाको साधारण समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ हुन्छ ।
The general equation of the second degree of pair of lines is $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$.
मूलबिन्दु भएर जाने जोडा रेखा (Pair of Lines through Origin)
समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ले मूलबिन्दु भएर जाने दुईवटा सीधा रेखाहरूलाई जनाउँछ ।
रेखाहरूको समीकरणहरू:
(a) $ax + hy + y\sqrt{h^2 – ab} = 0$
(b) $ax + hy – y\sqrt{h^2 – ab} = 0$
जोडा रेखाहरूका गुणहरू (Properties of Pair of Lines)
| क्र.स. | रेखाहरूको समीकरण (Equation of Lines) | रेखाहरू बीचको कोण (Angle between Lines) | अवस्थाहरू (Conditions) |
|---|---|---|---|
| 1. | $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ | $\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{2\sqrt{h^2 – ab}}{a + b} \right)$ |
सम्पाती (Coincident): $h^2 = ab$ लम्ब (Perpendicular): $a + b = 0$ |
| 2. | $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ | $\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{2\sqrt{h^2 – ab}}{a + b} \right)$ |
सम्पाती (Coincident): $h^2 = ab$ लम्ब (Perpendicular): $a + b = 0$ |
महत्त्वपूर्ण नोट (Important Note):
जब $h^2 < ab$ हुन्छ, तब रेखाहरू काल्पनिक (imaginary) हुन्छन् ।
When $h^2 < ab$, the lines are imaginary.
3. शाङ्किक भागहरू (Conic Sections)
शाङ्किक भाग (Conic Section)
समकोणी सोलीलाई समतल सतहले काट्दा प्राप्त हुने वक्रलाई शाङ्किक भाग भनिन्छ ।
Conic sections are curves obtained by intersecting a right circular cone by a plane.
वृत्त (Circle)
समतलीय सतहले सोलीको अक्षसँग $90^\circ$ बनाई वा सोलीको आधारसँग समानान्तर भई सोलीलाई प्रतिच्छेदित गर्दा बन्ने आकृति वा समतलीय वक्र नै वृत्त हो ।
Section of a right circular cone by a plane making $90^\circ$ with the axis of cone and parallel to the base of cone is called a circle.
समीकरण (Equation): $x^2 + y^2 = r^2$
दीर्घ वृत्त (Ellipse)
जब समतलीय सतहले सोलीको अक्षसँग बनाएको कोण $\theta$ को मान अर्ध शीर्षकोण $\alpha$ भन्दा ठूलो तर $90^\circ$ भन्दा सानो हुन्छ ($\alpha < \theta < 90^\circ$), तब बनेको वक्र दीर्घ वृत्त हुन्छ ।
When a plane makes an angle $\theta$ with the axis where $\alpha < \theta < 90^\circ$, the curve formed is an ellipse.
समीकरण: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
पाराबोला (Parabola)
जब समतलीय सतहले सोलीको अक्षसँग बनाएको कोण $\theta$ अर्ध शीर्षकोण $\alpha$ बराबर हुन्छ ($\theta = \alpha$), तब बनेको वक्र पाराबोला हुन्छ ।
When a plane makes an angle $\theta$ equal to the semi-vertical angle $\alpha$, the curve formed is a parabola.
समीकरण: $y^2 = 4ax$
अतिपरावलय (Hyperbola)
जब समतलीय सतहले सोलीको अक्षसँग बनाएको कोण $\theta$ अर्ध शीर्षकोण $\alpha$ भन्दा सानो हुन्छ ($\theta < \alpha$), तब बनेको वक्र अतिपरावलय हुन्छ ।
When a plane makes an angle $\theta$ less than the semi-vertical angle $\alpha$, the curve formed is a hyperbola.
समीकरण: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$
शाङ्किक भागहरूको तुलना (Comparison of Conic Sections)
| शाङ्किक भाग (Conic) | कोणको अवस्था (Angle Condition) | सामान्य समीकरण (General Equation) | विशेषता (Special Feature) |
|---|---|---|---|
| वृत्त (Circle) | $\theta = 90^\circ$ (समतल सोलीको आधारसँग समानान्तर) |
$x^2 + y^2 = r^2$ | सबै बिन्दु केन्द्रबाट समान दूरीमा |
| दीर्घवृत्त (Ellipse) | $\alpha < \theta < 90^\circ$ | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | दुई फोकस बिन्दुहरू |
| पाराबोला (Parabola) | $\theta = \alpha$ (समतल सोलीको छड्के सतहसँग समानान्तर) |
$y^2 = 4ax$ | एउटा फोकस र एउटा डाइरेक्ट्रिक्स |
| अतिपरावलय (Hyperbola) | $\theta < \alpha$ (समतल सोलीको दुवै भाग काट्छ) |
$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$ | दुई अलग शाखाहरू |
4. वृत्त (Circle)
वृत्तका विभिन्न समीकरणहरू (Different Equations of Circle)
| क्र.स. | वृत्तको अवस्था (Condition of Circle) | वृत्तको समीकरण (Equation of Circle) | विशेष (Special) |
|---|---|---|---|
| 1. | केन्द्र उद्गम् बिन्दुमा (Center at origin) | $x^2 + y^2 = r^2$ | $r$ = अर्धव्यास |
| 2. | केन्द्र $(h, k)$ मा (Center at $(h, k)$) | $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$ | सामान्य रूप |
| 3. | व्यासका छेउका बिन्दु $(x_1,y_1)$ र $(x_2,y_2)$ (Diameter ends) | $(x – x_1)(x – x_2) + (y – y_1)(y – y_2) = 0$ | व्यासको प्रमेय |
| 4. | उद्गम् बिन्दु भएर जाने (Through origin) $(r^2 = h^2 + k^2)$ |
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = h^2 + k^2$ वा $x^2 + y^2 – 2hx – 2ky = 0$ |
स्थिरांक छैन |
| 5. | X-अक्षलाई छुँदा (Touches X-axis) $(r = k)$ |
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = k^2$ | Y-अक्षसँगको दूरी = अर्धव्यास |
| 6. | Y-अक्षलाई छुँदा (Touches Y-axis) $(r = h)$ |
$(x – h)^2 + (y – k)^2 = h^2$ | X-अक्षसँगको दूरी = अर्धव्यास |
| 7. | दुवै अक्षलाई छुँदा (Touches both axes) $(r = h = k)$ |
$(x – h)^2 + (y – h)^2 = h^2$ वा $(x – r)^2 + (y – r)^2 = r^2$ |
केन्द्र $(r, r)$ मा |
वृत्तको सामान्य समीकरणका गुणहरू (Properties of General Circle Equation)
वृत्तको समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ को रूपमा भए:
(i) केन्द्र (Centre):
$(-g, -f)$
वा $(-\frac{1}{2} x \text{ को गुणांक}, -\frac{1}{2} y \text{ को गुणांक})$
or $(-\frac{1}{2} \text{ coefficient of } x, -\frac{1}{2} \text{ coefficient of } y)$
(ii) अर्धव्यास (Radius):
$\sqrt{g^2 + f^2 – c}$
वा $\frac{1}{2} \sqrt{(x \text{ को गुणांक})^2 + (y \text{ को गुणांक})^2 – 4c}$
or $\frac{1}{2} \sqrt{(\text{coefficient of } x)^2 + (\text{coefficient of } y)^2 – 4c}$
नोट (Note): वृत्तको वास्तविक अस्तित्वको लागि $g^2 + f^2 – c \geq 0$ हुनुपर्छ।
For real circle, $g^2 + f^2 – c \geq 0$ must hold.
वृत्त समीकरण उदाहरणहरू (Circle Equation Examples)
Example 1: केन्द्र मूलबिन्दुमा
केन्द्र $(0,0)$, अर्धव्यास 5
समीकरण: $x^2 + y^2 = 25$
Example 2: केन्द्र $(2,3)$, अर्धव्यास 4
$(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 16$
वा $x^2 + y^2 – 4x – 6y – 3 = 0$
Example 3: X-अक्षलाई छुने
केन्द्र $(2,3)$, X-अक्ष छुन्छ
$(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 9$ $(r = 3)$
Example 4: दुवै अक्ष छुने
केन्द्र $(5,5)$, दुवै अक्ष छुन्छ
$(x – 5)^2 + (y – 5)^2 = 25$
5. वृत्तको स्पर्शरेखा (Tangent to a Circle)
स्पर्शरेखाको समीकरण (Equation of Tangent)
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ को बिन्दु $(x_1, y_1)$ मा खिचिएको स्पर्शरेखाको समीकरण:
$$xx_1 + yy_1 = a^2$$
The equation of tangent to a circle $x^2 + y^2 = a^2$ at a point $(x_1, y_1)$ is $xx_1 + yy_1 = a^2$.
सामान्य वृत्तको स्पर्शरेखा (Tangent to General Circle)
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ को बिन्दु $(x_1, y_1)$ मा स्पर्शरेखाको समीकरण:
$$xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$$
उदाहरण (Example):
वृत्त: $x^2 + y^2 = 25$, बिन्दु $(3,4)$
स्पर्शरेखा: $x(3) + y(4) = 25$
वा $3x + 4y = 25$
झुकाव दिई स्पर्शरेखा (Tangent in Slope Form)
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ को लागि:
$y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$
जहाँ $m$ = स्पर्शरेखाको झुकाव
वृत्त $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ को लागि:
$y – k = m(x – h) \pm r\sqrt{1 + m^2}$
जहाँ $m$ = स्पर्शरेखाको झुकाव
स्पर्शरेखाको अवस्था (Condition for Tangency)
रेखा $y = mx + c$ वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ लाई स्पर्श गर्दा:
$$c = \pm a\sqrt{1 + m^2}$$
अथवा, स्पर्श गर्ने अवस्था: $c^2 = a^2(1 + m^2)$
6. उदाहरणहरू (Examples)
Example 1: दुई रेखाहरूबीचको कोण
Find the angle between lines: $2x + 3y = 5$ and $3x – 2y = 7$
Solution:
रेखा 1: $2x + 3y = 5$, $m_1 = -\frac{2}{3}$
रेखा 2: $3x – 2y = 7$, $m_2 = \frac{3}{2}$
$m_1 \times m_2 = (-\frac{2}{3}) \times (\frac{3}{2}) = -1$
∴ रेखाहरू लम्ब छन् (Lines are perpendicular)
कोण (Angle) = $90^\circ$
Example 2: वृत्तको समीकरण
Find equation of circle with center $(2,-3)$ and radius 4 units.
Solution:
सूत्र: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
यहाँ $h=2$, $k=-3$, $r=4$
$(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$
वा $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0$
Example 3: जोडा रेखा
Find angle between lines represented by: $x^2 + 4xy + y^2 = 0$
Solution:
समीकरण: $x^2 + 4xy + y^2 = 0$
यहाँ $a=1$, $h=2$, $b=1$
कोणको सूत्र: $\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{2\sqrt{h^2 – ab}}{a + b} \right)$
$\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{2\sqrt{4 – 1}}{1 + 1} \right)$
$\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} \right) = \tan^{-1}(\pm \sqrt{3})$
$\theta = 60^\circ$ वा $120^\circ$
Example 4: वृत्तको स्पर्शरेखा
Find tangent to circle $x^2 + y^2 = 10$ at point $(1,3)$.
Solution:
स्पर्शरेखाको सूत्र: $xx_1 + yy_1 = a^2$
यहाँ $x_1=1$, $y_1=3$, $a^2=10$
$x(1) + y(3) = 10$
∴ $x + 3y = 10$
वा $3y = 10 – x$
वा $y = \frac{10 – x}{3}$
Example 5: सामान्य वृत्त
Find center and radius of circle: $x^2 + y^2 – 6x + 8y – 11 = 0$
Solution:
समीकरण: $x^2 + y^2 – 6x + 8y – 11 = 0$
तुलना गर्दा: $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
$2g = -6$ ∴ $g = -3$
$2f = 8$ ∴ $f = 4$
$c = -11$
केन्द्र (Centre): $(-g, -f) = (3, -4)$
अर्धव्यास (Radius): $\sqrt{g^2 + f^2 – c}$
$= \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 – (-11)}$
$= \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$
∴ केन्द्र $(3,-4)$, अर्धव्यास = 6
7. Full Chapter PDF Manual
Access the complete PDF manual with exercises, examples, and detailed explanations on Coordinate Geometry including Angle between Lines, Pair of Straight Lines, Conic Sections, and Circle.