Unit 3: Matrix – मेट्रिक्स, डिटरमिनान्ट र व्युत्क्रम
Matrix Operations, Determinants, Inverse Matrices & Cramer’s Rule
Introduction to Matrices
Unit 3: Matrix covers fundamental concepts of matrices including matrix operations, determinants, inverse matrices, and applications in solving linear equations using Cramer’s Rule. Matrices are rectangular arrays of numbers arranged in rows and columns, widely used in mathematics, physics, computer science, and engineering.
1. मेट्रिक्सका परिभाषाहरू (Matrix Definitions)
मेट्रिक्स (Matrix)
मेट्रिक्स भनेको सङ्ख्याहरूको आयताकार व्यवस्था हो जुन पङ्क्ति (row) र स्तम्भ (column) मा व्यवस्थित हुन्छ । यसलाई दुईवटा कुने कोराले (brackets) भित्र राखेर लेखिन्छ ।
A matrix is a rectangular arrangement of numbers in rows and columns enclosed within two brackets.
Example:
This is a $2 \times 2$ matrix (2 rows and 2 columns).
मेट्रिक्सको क्रम (Order of Matrix)
यदि एउटा मेट्रिक्समा $m$ ओटा पङ्क्ति र $n$ ओटा स्तम्भहरू छन् भने त्यस मेट्रिक्सको क्रम $m \times n$ (m by n) हुन्छ ।
If a matrix has $m$ rows and $n$ columns, then its order is $m \times n$.
Examples:
Order: $2 \times 3$
Order: $3 \times 2$
मेट्रिक्सका प्रकारहरू (Types of Matrices)
| Type (प्रकार) | Description (विवरण) | Example (उदाहरण) |
|---|---|---|
| Row Matrix (पङ्क्ति मेट्रिक्स) | Only one row | $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ |
| Column Matrix (स्तम्भ मेट्रिक्स) | Only one column | $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ |
| Square Matrix (वर्गाकार मेट्रिक्स) | Number of rows = Number of columns | $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ |
| Zero Matrix (शून्य मेट्रिक्स) | All elements are zero | $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ |
| Identity Matrix (एकाइ मेट्रिक्स) | Diagonal elements 1, others 0 | $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| Scalar Matrix (अदिश मेट्रिक्स) | Diagonal elements equal, others 0 | $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ |
2. मेट्रिक्सहरूको गुणनफल (Product of Matrices)
मेट्रिक्स गुणन (Matrix Multiplication)
यदि मेट्रिक्सहरू A र B क्रमशः क्रमहरू $m\times n$ र $n\times p$ भएका मेट्रिक्सहरू भए तिनीहरूको गुणनफल भन्नाले क्रम $m\times p$ भएको मेट्रिक्स AB भन्ने बुझिन्छ ।
If A and B are two matrices of order $m\times n$ and $n\times p$ respectively, then their product AB is a matrix of order $m\times p$.
$$A_{m\times n} \times B_{n\times p} = AB_{m\times p}$$
Condition: Number of columns of A = Number of rows of B
गुणनफल निकाल्ने विधि (Multiplication Method)
मेट्रिक्सको गुणनफल निकाल्दा पहिलो मेट्रिक्सको पङ्क्ति र दोस्रो मेट्रिक्सको स्तम्भको गुणनफलको योगफल गरिन्छ ।
Example:
Let $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ and $B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$
Then $AB = \begin{pmatrix} a\times e + b\times g & a\times f + b\times h \\ c\times e + d\times g & c\times f + d\times h \end{pmatrix}$
महत्त्वपूर्ण नोट (Important Note):
मेट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय हुँदैन। अर्थात् साधारणतया $AB \neq BA$ हुन्छ। (Matrix multiplication is not commutative. Generally, $AB \neq BA$).
3. मेट्रिक्सको डिटरमिनान्ट (Determinant of a Matrix)
डिटरमिनान्ट (Determinant)
मानौं $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ एउटा $2\times2$ मेट्रिक्स भए वास्तविक सङ्ख्या $(ad-bc)$ लाई मेट्रिक्स A को डिटरमिनान्ट भनिन्छ र यसलाई $|A|$ वा $\det(A)$ ले जनाइन्छ ।
Let $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ be a $2\times2$ matrix, then its determinant is the real number $(ad-bc)$. We write, $\det(A) = |A| = \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad-bc$.
$$|A| = \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad – bc$$
नोट (Note):
यदि $A=[a]$ भए $|A|=a$ हुन्छ । (If $A=[a]$ then $|A|=a$.)
सिङ्गलर र नन-सिङ्गलर मेट्रिक्स (Singular & Non-singular Matrix)
सिङ्गलर मेट्रिक्स (Singular Matrix)
एउटा वर्गाकार मेट्रिक्स A मा $|A|=0$ भए सो मेट्रिक्सलाई सिङ्गुलर मेट्रिक्स भनिन्छ ।
A square matrix A is called singular if $|A|=0$.
Example:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
$|A| = (2\times2) – (4\times1) = 4 – 4 = 0$
∴ A is singular matrix
नन-सिङ्गलर मेट्रिक्स (Non-singular Matrix)
यदि $|A| \neq 0$ भए सो मेट्रिक्स नन-सिङ्गुलर (Non-singular) हुन्छ ।
If $|A| \neq 0$, then A is a non-singular matrix.
Example:
$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
$|B| = (3\times4) – (1\times2) = 12 – 2 = 10 \neq 0$
∴ B is non-singular matrix
4. विपरित मेट्रिक्स (Inverse Matrices)
विपरित मेट्रिक्स (Inverse Matrix)
यदि A र B समान क्रमको वर्गाकार मेट्रिक्सहरू हुन्, I सोही क्रमको एकाइ मेट्रिक्स हो र $AB=BA=I$ भए मेट्रिक्सहरू A र B लाई आपसमा विपरित मेट्रिक्सहरू भनिन्छ । A को विपरित मेट्रिक्सलाई $A^{-1}$ ले जनाइन्छ। त्यसैले $A^{-1}=B$ हुन्छ ।
If A and B are two square matrices of the same order, I is an identity matrix of the same order, and $AB=BA=I$, then A and B are said to be inverse to each other. The inverse of A is denoted by $A^{-1}$. So, $A^{-1}=B$.
विपरित मेट्रिक्स निकाल्ने सूत्र (Inverse Matrix Formula)
$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)$$
यहाँ $|A| \neq 0$ हुनुपर्छ (Here $|A| \neq 0$ is required)
एडजोइन्ट मेट्रिक्स (Adjoint Matrix)
यदि $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ भए $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ हुन्छ ।
If $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ then $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$.
Example:
If $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ then $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
विपरित मेट्रिक्स निकाल्ने उदाहरण (Inverse Matrix Example)
Step 1: Let $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
Step 2: Find $|A| = (2\times4) – (1\times3) = 8 – 3 = 5$
Step 3: Find $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
Step 4: $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$
Verification: $A \times A^{-1} = I$
मेट्रिक्स समीकरण (Matrix Equation)
$$AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B$$
यहाँ A नन-सिङ्गलर मेट्रिक्स हुनुपर्छ (Here A must be non-singular matrix)
5. क्रामरको नियम (Cramer’s Rule)
क्रामरको नियम (Cramer’s Rule)
क्रामरको नियमले रेखीय समीकरणहरूको प्रणाली (system of linear equations) हल गर्न मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने विधि हो। यो नियम डिटरमिनान्टको प्रयोग गरेर समीकरणको समाधान दिन्छ।
Cramer’s rule is a method to solve a system of linear equations using matrices. This rule gives the solution of equations using determinants.
दिइएका समीकरणहरू (Given Equations):
$$a_1x + b_1y = c_1$$
$$a_2x + b_2y = c_2$$
क्रामरको नियमको तालिका (Cramer’s Rule Table)
| विवरण (Description) | सङ्केत (Symbol) | डिटरमिनान्ट (Determinant) |
|---|---|---|
| x र y का गुणाङ्कहरू (Coefficients of x and y) |
$D$ | $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ |
| अचर पदहरू र y का गुणाङ्कहरू (Constant terms and Coefficients of y) |
$D_x$ | $\begin{vmatrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2\end{vmatrix}$ |
| x का गुणाङ्कहरू र अचर पदहरू (Coefficients of x and Constant terms) |
$D_y$ | $\begin{vmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{vmatrix}$ |
समाधान (The Solution is):
$$x = \frac{D_x}{D} \quad \text{and} \quad y = \frac{D_y}{D}$$
यहाँ $D \neq 0$ हुनुपर्छ (Here $D \neq 0$ is required)
क्रामरको नियमको उदाहरण (Cramer’s Rule Example)
Solve: $2x + 3y = 8$ and $x – 2y = -3$
Step 1: $D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2\times-2) – (3\times1) = -4 – 3 = -7$
Step 2: $D_x = \begin{vmatrix} 8 & 3 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = (8\times-2) – (3\times-3) = -16 + 9 = -7$
Step 3: $D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (2\times-3) – (8\times1) = -6 – 8 = -14$
Step 4: $x = \frac{D_x}{D} = \frac{-7}{-7} = 1$
Step 5: $y = \frac{D_y}{D} = \frac{-14}{-7} = 2$
Solution: $x = 1, y = 2$
6. मेट्रिक्स गुणनफलका नियमहरू (Properties of Matrix Multiplication)
If A, B, and C are matrices suitable for multiplication, and K is a scalar:
| Property (गुण) | Formula (सूत्र) | Description (विवरण) |
|---|---|---|
| सङ्घीय नियम (Associative property) |
$(AB)C = A(BC)$ | गुणनफलको क्रम परिवर्तन गर्दा परिणाम परिवर्तन हुँदैन |
| बायाँ वितरण नियम (Left distributive property) |
$A(B+C) = AB+AC$ | मेट्रिक्सलाई योगफलमा वितरण गर्न सकिन्छ |
| दायाँ वितरण नियम (Right distributive property) |
$(B+C)A = BA+CA$ | योगफललाई मेट्रिक्समा वितरण गर्न सकिन्छ |
| स्केलार गुणनफल नियम (Scalar multiplication) |
$K(AB) = (KA)B = A(KB)$ | अदिश सङ्ख्याले गुणनफललाई गुणन गर्न सकिन्छ |
| एकाइ मेट्रिक्सको गुण (Identity property) |
$AI = IA = A$ | एकाइ मेट्रिक्सले मेट्रिक्सलाई परिवर्तन गर्दैन |
महत्त्वपूर्ण बुँदाहरू (Important Points)
1. मेट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय हुँदैन ($AB \neq BA$)
Matrix multiplication is not commutative
2. $AB = 0$ भए पनि $A=0$ वा $B=0$ हुन जरुरी छैन
AB=0 doesn’t imply A=0 or B=0
3. सिङ्गलर मेट्रिक्सको विपरित मेट्रिक्स हुँदैन
Singular matrix has no inverse
4. नन-सिङ्गलर मेट्रिक्सको विपरित मेट्रिक्स हुन्छ
Non-singular matrix has inverse
7. उदाहरणहरू (Examples)
Example 1: मेट्रिक्स गुणन (Matrix Multiplication)
If $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ and $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$, find $AB$.
Solution:
$AB = \begin{pmatrix} 1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 5+14 & 6+16 \\ 15+28 & 18+32 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$
Example 2: डिटरमिनान्ट (Determinant)
Find the determinant of $C = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.
Solution:
$|C| = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$
$= (3\times4) – (-2\times1)$
$= 12 – (-2) = 12 + 2 = 14$
∴ $|C| = 14$ (Non-singular matrix)
Example 3: विपरित मेट्रिक्स (Inverse Matrix)
Find the inverse of $D = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
Solution:
Step 1: $|D| = (2\times3) – (5\times1) = 6 – 5 = 1$
Step 2: $\text{Adj}(D) = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Step 3: $D^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
Verification: $D \times D^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$
8. Full Chapter PDF Manual
Access the complete PDF manual with exercises, examples, and detailed explanations on Matrices, Determinants, and Inverse Matrices.