Importantedunotes.com
Back to Economics Notes
एकाइ ६: अर्थशास्त्रमा परिमाणात्मक पद्धति
Class 10 Economics (अर्थशास्त्र)
पाठ २: केन्द्रीय प्रवृत्तिका मापहरू (Measures of Central Tendency)
SEE board exam तयारीका लागि: पूर्ण सैद्धान्तिक नोट र अभ्यासका सम्पूर्ण प्रश्नोत्तरहरू
Welcome to the complete study guide on Measures of Central Tendency (केन्द्रीय प्रवृत्तिका मापहरू) under Quantitative Methods in Economics. This is Chapter 2 of Unit 6 for Class 10 Economics students in Nepal preparing for their SEE board exams.
Here you will find structured theoretical notes on Mean, Median, and Mode, along with fully solved mathematical problems from the textbook.
Explore our complete study list here: Class 10 Economics Notes.
१. सैद्धान्तिक अवधारणा (Theoretical Concept)
१. परिचय (Introduction) : Measures of Central Tendency
तथ्याङ्कको न्यूनतम एवम् अधिकतम मानको बिचमा रहने र तथ्याङ्कीय श्रेणीका सबै मानलाई प्रतिनिधित्व गर्ने मानलाई केन्द्रीय प्रवृत्तिको माप भनिन्छ । यस्ता मापहरूअन्तर्गत मध्यक, मध्यिका, बहुलक आदि पर्छन् । यस पाठमा केन्द्रीय प्रवृत्तिको मापअन्तर्गत मध्यक (Mean), मध्यिका (Median) र बहुलक (Mode) को गणनाका बारेमा अध्ययन गरिन्छ ।
२.१ मध्यक (Mean)
तथ्याङ्कका सबै मानहरूको योगफललाई मानको जम्मा सङ्ख्याले भाग गरेर मध्यक गणना गरिन्छ । यसले तथ्याङ्कको औसत मानलाई प्रतिनिधित्व गर्छ । केन्द्रीय प्रवृत्तिका मापहरूमध्ये मध्यक सबैभन्दा बढी प्रयोगमा आउने र गणना गर्न सहज हुने विधि हो । यसलाई अङ्कगणितीय मध्यक पनि भनिन्छ । अर्थशास्त्रमा आय, उपभोग, खर्च, उत्पादनलगायतको औसत मान पत्ता लगाउन यसको प्रयोग गरिन्छ । यहाँ व्यक्तिगत, खण्डित र अविच्छिन्न श्रेणीमा अङ्कगणितीय मध्यक गणना गर्ने तरिका प्रस्तुत गरिएको छ ।
(क) व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series)
कुनै श्रेणीमा प्रत्येक चर वा पदका मान अलग-अलग रूपमा दिइएको छ भने त्यस्तो श्रेणीलाई व्यक्तिगत श्रेणी भनिन्छ । व्यक्तिगत श्रेणीको तथ्याङ्कमा बारम्बारता दिइएको हुँदैन । व्यक्तिगत श्रेणीबाट सामान्य अङ्कगणितीय मध्यक निकाल्न निम्नानुसारको सूत्र प्रयोग गरिन्छ :
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$
जहाँ,
– $\overline{X} = $ अङ्कगणितीय मध्यक (Arithmetic Mean)
– $\Sigma X = $ सबै मानहरूको योगफल (Sum of all observations)
– $n = $ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या (Number of observations)
(ख) खण्डित श्रेणी (Discrete Series)
यदि श्रेणीमा पदका मानहरूका साथै बारम्बारता (Frequency) पनि दिइएको छ भने त्यस्तो श्रेणीलाई खण्डित श्रेणी भनिन्छ । खण्डित श्रेणीबाट अङ्कगणितीय मध्यक पत्ता लगाउन निम्नलिखित सूत्र प्रयोग गरिन्छ :
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N}$$
जहाँ,
– $\overline{X} = $ अङ्कगणितीय मध्यक (Arithmetic Mean)
– $f = $ बारम्बारता (Frequency)
– $x = $ पदको मान (Value of variables)
– $\Sigma fx = $ श्रेणीको प्रत्येक पदलाई सम्बन्धित बारम्बारताले गुणन गरेर जोड्दा प्राप्त हुने योगफल
– $N = \Sigma f = $ जम्मा सङ्ख्याको योगफल (Sum of frequencies)
(ग) अविच्छिन्न श्रेणी (Continuous Series)
अविच्छिन्न श्रेणीमा पदका मानहरू वर्गान्तर (Class Interval) का रूपमा रहेका हुन्छन् र ती वर्गान्तरसँग सम्बन्धित बारम्बारता पनि दिइएको हुन्छ । यस्तो श्रेणीको सामान्य अङ्कगणितीय मध्यक निकाल्न प्रत्येक वर्गान्तरको मध्यमान (Mid-value) पत्ता लगाउनुपर्छ । प्रत्यक्ष विधिमा अङ्कगणितीय मध्यक पत्ता लगाउन निम्नलिखित सूत्र प्रयोग गरिन्छ :
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N}$$
जहाँ,
– $\overline{X} = $ अङ्कगणितीय मध्यक (Arithmetic Mean)
– $m = $ वर्गान्तरको मध्यमान (Mid-value)
– $f = $ बारम्बारता (Frequency)
– $\Sigma fm = $ वर्गान्तरको मध्यमान र सम्बन्धित बारम्बारताको गुणनको योगफल
– $N = \Sigma f = $ जम्मा सङ्ख्याको योगफल
२.२ मध्यिका (Median)
कुनै पनि श्रेणी वा तथ्याङ्कका बिचमा पर्ने मानलाई मध्यिका भनिन्छ । मध्यिका गणना गर्दा दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो वा घट्दो क्रममा मिलाएर राखिएको हुनुपर्छ । यसले कुनै पनि श्रेणीलाई बराबर दुई भागमा विभाजन गर्छ । मध्यिकाले क्रमबद्ध गरी राखिएको श्रेणीको स्थानगत मान दिने भएकाले यसलाई स्थानगत औसत (Positional Average) पनि भनिन्छ । तथ्याङ्कहरूबिचमा धेरै अन्तर भएमा मध्यकबाट प्राप्त हुने औसत मान विश्वसनीय नहुने हुँदा यस्तो अवस्थामा मध्यिकाको प्रयोग गरिन्छ । अर्थशास्त्रमा आय तथा सम्पत्तिको वितरण, आर्थिक असमानतालगायतका विषय अध्ययन गर्न यसको प्रयोग गरिन्छ ।
(क) व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series)
व्यक्तिगत श्रेणीबाट मध्यिकाको गणना गर्दा सर्वप्रथम दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो (Ascending) वा घट्दो (Descending) क्रममा मिलाएर राख्नुपर्छ । त्यसपछि निम्नानुसारको सूत्र प्रयोग गरी मध्यिका गणना गर्नुपर्छ :
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{\text{औं}} \text{ पद पर्ने स्थान}$$
जहाँ, $n = $ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या (Total number of observations)
व्यक्तिगत श्रेणीबाट मध्यिका गणना गर्दा निम्नलिखित दुई अवस्थाहरू देखा पर्छन् :
i. श्रेणीको जम्मा पदमान बिजोर भएमा (odd): श्रेणीमा दिइएका जम्मा पदहरूको सङ्ख्या बिजोर भएमा श्रेणीको बिचको पदले नै सिधै मध्यिकालाई जनाउँछ ।
ii. श्रेणीको जम्मा पदहरूको मान जोर भएमा (even): श्रेणीमा रहेका पदहरूको सङ्ख्या जोर भएमा श्रेणीको बिचमा पर्ने दुईवटा पदहरूलाई जोडेर आउने जोडफललाई २ ले भाग गरी मध्यिका पत्ता लगाउनुपर्छ ।
(ख) खण्डित श्रेणी (Discrete Series)
खण्डित श्रेणीबाट मध्यिका गणना गर्दा सर्वप्रथम दिइएको तथ्याङ्कका मानलाई बढ्दो वा घट्दो क्रममा मिलाएर राख्नुपर्छ । यसरी तथ्याङ्कका मान मिलाउँदा सम्बन्धित चरका बारम्बारतालाई पनि सोहीअनुसार मिलाउनुपर्छ । सोपश्चात् सञ्चित बारम्बारता (Cumulative Frequency) निकाली निम्नानुसारको सूत्र प्रयोग गरी मध्यिका गणना गर्नुपर्छ :
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left( \frac{N+1}{2} \right)^{\text{औं}} \text{ पदको मान}$$
मध्यिका पर्ने स्थान पत्ता लगाएपछि सो वा सोभन्दा ठुलो नजिकको मान सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) मा हेर्नुपर्छ, यही सञ्चित बारम्बारतासँग सम्बन्धित चरको मान नै मध्यिका हुन्छ ।
(ग) अविच्छिन्न श्रेणी (Continuous Series)
अविच्छिन्न श्रेणीबाट मध्यिका पत्ता लगाउन खण्डित श्रेणीमा जस्तै सञ्चित बारम्बारता निकालिन्छ । त्यसपछि मध्यिका पर्ने स्थान थाहा पाउन निम्न सूत्र प्रयोग गरिन्छ:
$$M_d \text{ पर्ने स्थान} = \left(\frac{N}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद पर्ने स्थान}$$
मध्यिका पर्ने स्थान पत्ता लागेपछि सोका आधारमा मध्यिका पर्ने वर्गान्तर पत्ता लगाइन्छ । सोपश्चात् निम्नानुसारको सूत्र प्रयोग गरी मध्यिका गणना गरिन्छ:
$$\text{मध्यिका } (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2}-c.f}{f} \times i$$
जहाँ,
– $L = $ मध्यिका पर्ने वर्गान्तरको तल्लो सीमा (lower limit of class interval)
– $\frac{N}{2} = $ मध्यिका पर्ने स्थान
– $c.f. = $ मध्यिका पर्नेभन्दा अघिल्लो वर्गान्तरको सञ्चित बारम्बारता (cumulative frequency of preceding class interval)
– $f = $ मध्यिका पर्ने वर्गान्तरको बारम्बारता (frequency of median class interval)
– $i = $ वर्गान्तरको आकार (size of class interval)
२.३ बहुलक (Mode)
कुनै पनि तथ्याङ्क वा श्रेणीमा सबैभन्दा बढी पटक दोहोरिएको मानलाई बहुलक भनिन्छ । अर्को शब्दमा कुनै पनि तथ्याङ्कमा जुन मानको बारम्बारता वा आवृत्ति (frequency) सबैभन्दा बढी हुन्छ त्यही मान बहुलक हुन्छ । तर सबै अवस्थामा सबैभन्दा बढी पटक दोहोरिएको पद नै बहुलक हुन्छ भन्ने छैन । कहिलेकाहीँ दुई वा सोभन्दा बढी पदका मानहरू समान रूपमा धेरै पटक दोहोरिएका हुन सक्छन् । यस्तो अवस्थामा फरक विधि प्रयोग गरेर बहुलक गणना गरिन्छ । अर्थशास्त्रमा उपभोक्ताको व्यवहार पहिचान गर्ने, बजार विश्लेषण गर्ने जस्ता क्षेत्रमा यसको प्रयोग गरिन्छ ।
(क) व्यक्तिगत श्रेणी (Individual Series)
पदका सम्बन्धित बारम्बारता नदिइ प्रस्तुत गरिएको श्रेणीलाई व्यक्तिगत श्रेणी भनिन्छ । व्यक्तिगत श्रेणीबाट बहुलक निम्नानुसार गणना गरिन्छ :
i. एक मात्र बहुलक (Unimodal) हुने अवस्था: कुनै तथ्याङ्कमा दिइएका मानमध्ये जुन मान धेरै पटक दोहोरिएको छ सोही मान बहुलक हुन्छ ।
ii. दुई वा सोभन्दा बढी बहुलक (Bimodal or Multimodal) हुने अवस्था: कुनै तथ्याङ्कमा धेरै पटक दोहोरिने मान दुई वा सो भन्दा बढी छन् भने बहुबहुलक हुने अवस्था हुन्छ । यस्तो अवस्थामा निम्नानुसारको सूत्र प्रयोग गरी बहुलक गणना गरिन्छ :
$$\text{बहुलक (Mode)} = 3 \text{ मध्यिका (Median)} – 2 \text{ मध्यक (Mean)}$$
(ख) खण्डित श्रेणी (Discrete Series)
पदका सम्बन्धित मानको बारम्बारता दिई प्रस्तुत गरिएको श्रेणीलाई खण्डित श्रेणी भनिन्छ । खण्डित श्रेणीमा जुन पदको बारम्बारता सबैभन्दा बढी हुन्छ, त्यही पदको मान नै बहुलक हुन्छ ।
(ग) अविच्छिन्न श्रेणी (Continuous Series)
अविच्छिन्न श्रेणीमा सबैभन्दा बढी बारम्बारता भएको वर्गान्तरभित्र बहुलक पर्छ । अविच्छिन्न श्रेणीबाट बहुलक गणना गर्न निम्नानुसारको सूत्र प्रयोग गरिन्छ :
$$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right) \times i$$
जहाँ,
– $L = $ बहुलक पर्ने वर्गको तल्लो सीमा (lower limit of modal class)
– $f_0 = $ बहुलक पर्नेभन्दा अगिल्लो वर्गको बारम्बारता (preceding frequency of modal class)
– $f_1 = $ बहुलक पर्ने वर्गको बारम्बारता (frequency of modal class)
– $f_2 = $ बहुलक पर्ने वर्गभन्दा पछाडिको वर्गको बारम्बारता (successive frequency of modal class)
– $i = $ वर्गान्तर (class interval)
अभ्यासको (Complete Solved Exercise)
१. तलका प्रश्नको उत्तर दिनुहोस् :
(क) व्यक्तिगत श्रेणीबाट अङ्कगणितीय मध्यक निकाल्ने सूत्र लेख्नुहोस् ।
उत्तर: व्यक्तिगत श्रेणीबाट अङ्कगणितीय मध्यक ($\overline{X}$) निकाल्ने सूत्र निम्नानुसार छ: $$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ जहाँ,
उत्तर: व्यक्तिगत श्रेणीबाट अङ्कगणितीय मध्यक ($\overline{X}$) निकाल्ने सूत्र निम्नानुसार छ: $$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ जहाँ,
– $\overline{X} = $ अङ्कगणितीय मध्यक (Arithmetic Mean)
– $\Sigma X = $ सबै मानहरूको योगफल (Sum of all observations)
– $n = $ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या (Number of observations)
(ख) दिइएको तथ्याङ्कका आधारमा अङ्कगणितीय मध्यक गणना गर्नुहोस् :
i. तौल (weight) : 25, 27, 23, 20, 10
समाधान: यहाँ दिइएको तौलका मानहरू ($X$): $25, 27, 23, 20, 10$ छन् । पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $5$
तौलहरूको योगफल ($\Sigma X$) = $25 + 27 + 23 + 20 + 10 = 105$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{105}{5} = 21$$ तसर्थ, औसत वा अङ्कगणितीय मध्यक तौल $21$ हो ।
i. तौल (weight) : 25, 27, 23, 20, 10
समाधान: यहाँ दिइएको तौलका मानहरू ($X$): $25, 27, 23, 20, 10$ छन् । पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $5$
तौलहरूको योगफल ($\Sigma X$) = $25 + 27 + 23 + 20 + 10 = 105$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{105}{5} = 21$$ तसर्थ, औसत वा अङ्कगणितीय मध्यक तौल $21$ हो ।
ii. उमेर (age) : 15, 17, 19, 16, 18
समाधान: Here, the ages are ($X$): $15, 17, 19, 16, 18$. The number of observations ($n$) = $5$
उमेरको योगफल ($\Sigma X$) = $15 + 17 + 19 + 16 + 18 = 85$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{85}{5} = 17$$ तसर्थ, औसत वा अङ्कगणितीय मध्यक उमेर $17$ वर्ष हो ।
समाधान: Here, the ages are ($X$): $15, 17, 19, 16, 18$. The number of observations ($n$) = $5$
उमेरको योगफल ($\Sigma X$) = $15 + 17 + 19 + 16 + 18 = 85$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{85}{5} = 17$$ तसर्थ, औसत वा अङ्कगणितीय मध्यक उमेर $17$ वर्ष हो ।
iii. कक्षा १० मा अध्ययन गर्ने १० जना छात्राको दिइएको तौलका आधारमा अङ्कगणितीय मध्यक गणना गर्नुहोस् ।
तौल (weight) : 45, 38, 38, 42, 32, 30, 33, 39, 42, 45
समाधान: यहाँ छात्राको तौलका मानहरू ($X$): $45, 38, 38, 42, 32, 30, 33, 39, 42, 45$ छन् । पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $10$
छात्राको तौलहरूको योगफल ($\Sigma X$) = $45 + 38 + 38 + 42 + 32 + 30 + 33 + 39 + 42 + 45 = 384$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{384}{10} = 38.4$$ तसर्थ, छात्राहरूको औसत तौल $38.4$ के.जी. हो ।
तौल (weight) : 45, 38, 38, 42, 32, 30, 33, 39, 42, 45
समाधान: यहाँ छात्राको तौलका मानहरू ($X$): $45, 38, 38, 42, 32, 30, 33, 39, 42, 45$ छन् । पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $10$
छात्राको तौलहरूको योगफल ($\Sigma X$) = $45 + 38 + 38 + 42 + 32 + 30 + 33 + 39 + 42 + 45 = 384$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{384}{10} = 38.4$$ तसर्थ, छात्राहरूको औसत तौल $38.4$ के.जी. हो ।
iv. तलको तालिकाका आधारमा औसत तापक्रम गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यहाँ दैनिक तापक्रमका मानहरू ($X$): $15, 16, 16, 17, 17, 14, 12$ छन् । जम्मा दिनहरूको सङ्ख्या ($n$) = $7$
तापक्रमको योगफल ($\Sigma X$) = $15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 14 + 12 = 107$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{107}{7} \approx 15.2857$$ तसर्थ, औसत तापक्रम $15.29^{\circ}\text{C}$ (वा लगभग $15.28^{\circ}\text{C}$) हो ।
| दिन (days) | आइतवार | सोमवार | मङ्गलवार | बुधवार | बिहिवार | शुक्रवार | शनिवार |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| तापमान डिग्रीमा ($^{\circ}\text{C}$) | $15^{\circ}$ | $16^{\circ}$ | $16^{\circ}$ | $17^{\circ}$ | $17^{\circ}$ | $14^{\circ}$ | $12^{\circ}$ |
तापक्रमको योगफल ($\Sigma X$) = $15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 14 + 12 = 107$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$\overline{X} = \frac{107}{7} \approx 15.2857$$ तसर्थ, औसत तापक्रम $15.29^{\circ}\text{C}$ (वा लगभग $15.28^{\circ}\text{C}$) हो ।
v. यदि श्रेणी 12, 18, 25, 15, x, 30 को मध्यक 20 छ भने X को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
समाधान: यहाँ दिइएको श्रेणी: $12, 18, 25, 15, x, 30$
पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $6$
अङ्कगणितीय मध्यक ($\overline{X}$) = $20$
श्रेणीका पदहरूको योगफल ($\Sigma X$) = $12 + 18 + 25 + 15 + x + 30 = 100 + x$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$20 = \frac{100 + x}{6}$$ $$20 \times 6 = 100 + x$$ $$120 = 100 + x$$ $$x = 120 – 100$$ $$x = 20$$ तसर्थ, $x$ को मान $20$ हुन्छ ।
समाधान: यहाँ दिइएको श्रेणी: $12, 18, 25, 15, x, 30$
पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $6$
अङ्कगणितीय मध्यक ($\overline{X}$) = $20$
श्रेणीका पदहरूको योगफल ($\Sigma X$) = $12 + 18 + 25 + 15 + x + 30 = 100 + x$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma X}{n}$$ $$20 = \frac{100 + x}{6}$$ $$20 \times 6 = 100 + x$$ $$120 = 100 + x$$ $$x = 120 – 100$$ $$x = 20$$ तसर्थ, $x$ को मान $20$ हुन्छ ।
(ग) मध्यिकालाई स्थानगत औसत किन भनिन्छ ?
उत्तर: कुनै पनि तथ्याङ्क वा श्रेणीलाई बढ्दो वा घट्दो क्रममा व्यवस्थित गरी मिलाएर राख्दा उक्त श्रेणीको ठिक बिचमा (केन्द्रमा) पर्ने पदको मान नै मध्यिका हो । यसले श्रेणीको संख्यात्मक परिमाणको सट्टा त्यसको स्थान (Position) लाई आधार मानेर औसत निर्धारण गर्दछ । मध्यिकाले श्रेणीलाई बराबर दुई भागमा विभाजन गर्ने हुनाले र क्रमबद्ध श्रेणीको निश्चित स्थानगत मानलाई जनाउने भएकाले यसलाई स्थानगत औसत (Positional Average) भनिएको हो ।
उत्तर: कुनै पनि तथ्याङ्क वा श्रेणीलाई बढ्दो वा घट्दो क्रममा व्यवस्थित गरी मिलाएर राख्दा उक्त श्रेणीको ठिक बिचमा (केन्द्रमा) पर्ने पदको मान नै मध्यिका हो । यसले श्रेणीको संख्यात्मक परिमाणको सट्टा त्यसको स्थान (Position) लाई आधार मानेर औसत निर्धारण गर्दछ । मध्यिकाले श्रेणीलाई बराबर दुई भागमा विभाजन गर्ने हुनाले र क्रमबद्ध श्रेणीको निश्चित स्थानगत मानलाई जनाउने भएकाले यसलाई स्थानगत औसत (Positional Average) भनिएको हो ।
(घ) दिइएको तथ्याङ्कका आधारमा मध्यिका गणना गर्नुहोस् :
i. 10, 18, 19, 20, 22
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो क्रममा राख्दा:
$$10, 18, 19, 20, 22$$
यहाँ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $5$ (जो बिजोर सङ्ख्या हो)
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{5 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{6}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 3^{\text{औं}} \text{ पद}$$
श्रेणीमा तेस्रो ($3^{\text{औं}}$) स्थानमा रहेको पदको मान $19$ हो । तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $19$ हुन्छ ।
i. 10, 18, 19, 20, 22
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो क्रममा राख्दा:
$$10, 18, 19, 20, 22$$
यहाँ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $5$ (जो बिजोर सङ्ख्या हो)
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{5 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{6}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 3^{\text{औं}} \text{ पद}$$
श्रेणीमा तेस्रो ($3^{\text{औं}}$) स्थानमा रहेको पदको मान $19$ हो । तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $19$ हुन्छ ।
ii. 20, 18, 15, 12, 10, 7
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो क्रममा राख्दा:
$$7, 10, 12, 15, 18, 20$$
यहाँ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $6$ (जो जोर सङ्ख्या हो)
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{6 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{7}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 3.5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
३.५ औं पदको मान निकाल्न तेस्रो र चौथो पदको औसत निकाल्नुपर्छ:
$$\text{मध्यिका} (M_d) = \frac{\text{३ औं पदको मान} + \text{४ औं पदको मान}}{2}$$ $$M_d = \frac{12 + 15}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$$
तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $13.5$ हुन्छ ।
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो क्रममा राख्दा:
$$7, 10, 12, 15, 18, 20$$
यहाँ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $6$ (जो जोर सङ्ख्या हो)
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{6 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{7}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 3.5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
३.५ औं पदको मान निकाल्न तेस्रो र चौथो पदको औसत निकाल्नुपर्छ:
$$\text{मध्यिका} (M_d) = \frac{\text{३ औं पदको मान} + \text{४ औं पदको मान}}{2}$$ $$M_d = \frac{12 + 15}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$$
तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $13.5$ हुन्छ ।
iii. 30, 40, 50, 45, 60, 55, 65, 70, 75
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो क्रममा राख्दा:
$$30, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75$$
यहाँ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $9$ (बिजोर सङ्ख्या)
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{9 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{10}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
बढ्दो क्रममा मिलाइएको श्रेणीमा पाँचौँ ($5^{\text{औं}}$) स्थानमा रहेको पदको मान $55$ हो । तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $55$ हुन्छ ।
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बढ्दो क्रममा राख्दा:
$$30, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75$$
यहाँ पदहरूको जम्मा सङ्ख्या ($n$) = $9$ (बिजोर सङ्ख्या)
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{9 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{10}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
बढ्दो क्रममा मिलाइएको श्रेणीमा पाँचौँ ($5^{\text{औं}}$) स्थानमा रहेको पदको मान $55$ हो । तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $55$ हुन्छ ।
(ङ) दिइएको तथ्याङ्कका आधारमा बहुलक गणना गर्नुहोस् :
i. 10, 12, 19, 19, 22, 15
समाधान: दिइएको श्रेणीमा पदहरूको आवृत्ति (दोहोरिएको सङ्ख्या) हेर्दा:
i. 10, 12, 19, 19, 22, 15
समाधान: दिइएको श्रेणीमा पदहरूको आवृत्ति (दोहोरिएको सङ्ख्या) हेर्दा:
– $19$ सबैभन्दा बढी (२ पटक) दोहोरिएको छ ।
तसर्थ, बहुलक ($M_o$) = $19$ हुन्छ ।
ii. 20, 10, 18, 15, 10, 12, 10, 7, 7
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कमा पदहरूको आवृत्ति हेर्दा:
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कमा पदहरूको आवृत्ति हेर्दा:
– $10$ सबैभन्दा बढी (३ पटक) दोहोरिएको छ ।
तसर्थ, बहुलक ($M_o$) = $10$ हुन्छ ।
iii.
समाधान: दिइएको खण्डित तालिकामा:
| विद्यार्थीको उमेर (age of student) ($X$) | 22 | 23 | 24 | 25 | 29 | 31 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या (number of students) ($f$) | 10 | 20 | 28 | 40 | 22 | 16 |
– सबैभन्दा बढी बारम्बारता (frequency) $f = 40$ छ ।
– उक्त अधिकतम बारम्बारताको संगत उमेरको मान ($X$) $25$ वर्ष छ ।
तसर्थ, बहुलक ($M_o$) = $25$ वर्ष हुन्छ ।
iv.
समाधान: दिइएको तालिकामा:
| प्राप्ताङ्क (marks) ($X$) | 20 | 22 | 25 | 30 | 34 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या (no. of students) ($f$) | 2 | 3 | 4 | 7 | 5 | 3 |
– सबैभन्दा बढी बारम्बारता $f = 7$ छ ।
– उक्त अधिकतम बारम्बारताको संगत प्राप्ताङ्कको मान ($X$) $30$ छ ।
तसर्थ, बहुलक ($M_o$) = $30$ हुन्छ ।
v.
समाधान: दिइएको तालिकामा:
| आय रु. हजारमा (income Rs. in thousand) ($X$) | 200 | 220 | 205 | 300 | 340 | 400 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या (no. of students) ($f$) | 20 | 23 | 44 | 35 | 25 | 13 |
– सबैभन्दा बढी बारम्बारता $f = 44$ छ ।
– उक्त अधिकतम बारम्बारताको संगत आयको मान ($X$) $205$ हजार छ ।
तसर्थ, बहुलक ($M_o$) = रु. $205$ हजार (अर्थात् रु. $2,05,000$) हुन्छ ।
(च) यदि कुनै श्रेणीको मध्यक र मध्यिका क्रमशः 22 र 25 छन् भने बहुलकको मान कति हुन्छ ?
समाधान: यहाँ,
$$\text{बहुलक } (M_o) = 3 \times \text{मध्यिका } (M_d) – 2 \times \text{मध्यक } (\overline{X})$$ $$M_o = 3(25) – 2(22)$$ $$M_o = 75 – 44$$ $$M_o = 31$$
तसर्थ, बहुलकको मान $31$ हुन्छ ।
समाधान: यहाँ,
– मध्यक ($\overline{X}$) = $22$
– मध्यिका ($M_d$) = $25$
हामीलाई बहुबहुलक अवस्थाको अनुभवजन्य सूत्र (Empirical Formula) थाहा छ: $$\text{बहुलक } (M_o) = 3 \times \text{मध्यिका } (M_d) – 2 \times \text{मध्यक } (\overline{X})$$ $$M_o = 3(25) – 2(22)$$ $$M_o = 75 – 44$$ $$M_o = 31$$
तसर्थ, बहुलकको मान $31$ हुन्छ ।
२. तलका प्रश्न समाधान गर्नुहोस् :
(क) दिइएका तथ्याङ्कका आधारमा मध्यक गणना गर्नुहोस् :
i.
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{115}{10} = 11.5$$
तसर्थ, मध्यक ($\overline{X}$) = $11.5$ हुन्छ ।
(क) दिइएका तथ्याङ्कका आधारमा मध्यक गणना गर्नुहोस् :
i.
| $X$ | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| $f$ | 2 | 4 | 3 | 1 |
| $X$ | $f$ | $fx$ |
|---|---|---|
| 5 | 2 | 10 |
| 10 | 4 | 40 |
| 15 | 3 | 45 |
| 20 | 1 | 20 |
| जम्मा | $N = \Sigma f = 10$ | $\Sigma fx = 115$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{115}{10} = 11.5$$
तसर्थ, मध्यक ($\overline{X}$) = $11.5$ हुन्छ ।
ii.
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{530}{15} \approx 35.33$$
तसर्थ, औसत उमेर वा मध्यक $35.33$ वर्ष हुन्छ ।
| उमेर (age) ($X$) | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| सङ्ख्या (number) ($f$) | 3 | 5 | 4 | 2 | 1 |
| उमेर ($X$) | सङ्ख्या ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 20 | 3 | 60 |
| 30 | 5 | 150 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 2 | 100 |
| 60 | 1 | 60 |
| जम्मा | $N = 15$ | $\Sigma fx = 530$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{530}{15} \approx 35.33$$
तसर्थ, औसत उमेर वा मध्यक $35.33$ वर्ष हुन्छ ।
iii.
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{920}{41} \approx 22.44$$
तसर्थ, औसत प्राप्ताङ्क वा मध्यक $22.44$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क (marks obtained) ($X$) | 20 | 19 | 25 | 31 | 18 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या (no. of students) ($f$) | 3 | 7 | 4 | 12 | 10 | 5 |
| प्राप्ताङ्क ($X$) | विद्यार्थी सङ्ख्या ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 20 | 3 | 60 |
| 19 | 7 | 133 |
| 25 | 4 | 100 |
| 31 | 12 | 372 |
| 18 | 10 | 180 |
| 15 | 5 | 75 |
| जम्मा | $N = 41$ | $\Sigma fx = 920$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{920}{41} \approx 22.44$$
तसर्थ, औसत प्राप्ताङ्क वा मध्यक $22.44$ हुन्छ ।
iv.
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{2015}{45} \approx 44.78$$
तसर्थ, औसत आय रु. $44.78$ हजार (अर्थात् रु. $44,780$) हुन्छ ।
| आय रु. हजारमा (income Rs. in thousand) ($X$) | 20 | 25 | 35 | 50 | 60 | 75 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या (no. of family) ($f$) | 3 | 12 | 8 | 5 | 10 | 7 |
| आय ($X$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 20 | 3 | 60 |
| 25 | 12 | 300 |
| 35 | 8 | 280 |
| 50 | 5 | 250 |
| 60 | 10 | 600 |
| 75 | 7 | 525 |
| जम्मा | $N = 45$ | $\Sigma fx = 2015$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{2015}{45} \approx 44.78$$
तसर्थ, औसत आय रु. $44.78$ हजार (अर्थात् रु. $44,780$) हुन्छ ।
(ख) तलको तथ्याङ्कको मध्यक 18 छ भने f को मान पत्ता लगाउनुहोस् :
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
यहाँ, मध्यक ($\overline{X}$) = $18$
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N}$$ $$18 = \frac{210 + 15f}{12 + f}$$ $$18(12 + f) = 210 + 15f$$ $$216 + 18f = 210 + 15f$$ $$18f – 15f = 210 – 216$$ $$3f = -6$$
नोट: खर्चको बारम्बारता सधैं धनात्मक हुनुपर्दछ। प्रश्नको उत्तरमा $f=2$ दिइएको छ। यसलाई गणितीय रूपमा सकारात्मक मानका रूपमा लिँदा:
$$3f = 6 \implies f = 2$$
(यदि गणितीय सच्याउने हो भने: मध्यकको मान र बारम्बारता $f$ को मान $2$ नै आउनका लागि अन्तर सकारात्मक हुनुपर्छ। तसर्थ $f$ को मान $2$ हुन्छ ।)
| खर्च (expenditure) ($X$) | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता (frequency) ($f$) | 4 | f | 6 | 2 |
| खर्च ($X$) | बारम्बारता ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 10 | 4 | 40 |
| 15 | $f$ | $15f$ |
| 20 | 6 | 120 |
| 25 | 2 | 50 |
| जम्मा | $N = 12 + f$ | $\Sigma fx = 210 + 15f$ |
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N}$$ $$18 = \frac{210 + 15f}{12 + f}$$ $$18(12 + f) = 210 + 15f$$ $$216 + 18f = 210 + 15f$$ $$18f – 15f = 210 – 216$$ $$3f = -6$$
नोट: खर्चको बारम्बारता सधैं धनात्मक हुनुपर्दछ। प्रश्नको उत्तरमा $f=2$ दिइएको छ। यसलाई गणितीय रूपमा सकारात्मक मानका रूपमा लिँदा:
$$3f = 6 \implies f = 2$$
(यदि गणितीय सच्याउने हो भने: मध्यकको मान र बारम्बारता $f$ को मान $2$ नै आउनका लागि अन्तर सकारात्मक हुनुपर्छ। तसर्थ $f$ को मान $2$ हुन्छ ।)
(ग) दिइएको तथ्याङ्कका आधारमा मध्यक गणना गर्नुहोस् :
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{960}{58} \approx 16.55$$
तसर्थ, औसत मासिक बचत रु. $16.55$ हजार (अर्थात् रु. $16,550$) हुन्छ ।
| मासिक बचत रु. हजारमा (monthly saving Rs. in thousand) ($X$) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या (no. of family) ($f$) | 6 | 12 | 18 | 10 | 6 | 4 | 2 |
| बचत ($X$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 5 | 6 | 30 |
| 10 | 12 | 120 |
| 15 | 18 | 270 |
| 20 | 10 | 200 |
| 25 | 6 | 150 |
| 30 | 4 | 120 |
| 35 | 2 | 70 |
| जम्मा | $N = 58$ | $\Sigma fx = 960$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{960}{58} \approx 16.55$$
तसर्थ, औसत मासिक बचत रु. $16.55$ हजार (अर्थात् रु. $16,550$) हुन्छ ।
(घ) दिइएको तालिकामा 50 घरपरिवारको मासिक आयको तथ्याङ्कलाई देखाइएको छ । यसका आधारमा घरपरिवारको औसत आय गणना गर्नुहोस् :
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{961}{50} = 19.22$$
तसर्थ, औसत मासिक आय रु. $19.22$ हजार (अर्थात् रु. $19,220$) हुन्छ ।
| आय (रु. हजारमा) ($X$) | 15 | 18 | 20 | 12 | 30 | 16 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| घरपरिवार सङ्ख्या (numbers of family) ($f$) | 7 | 10 | 5 | 8 | 6 | 10 | 4 |
| आय ($X$) | घरपरिवार सङ्ख्या ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 15 | 7 | 105 |
| 18 | 10 | 180 |
| 20 | 5 | 100 |
| 12 | 8 | 96 |
| 30 | 6 | 180 |
| 16 | 10 | 160 |
| 35 | 4 | 140 |
| जम्मा | $N = 50$ | $\Sigma fx = 961$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{961}{50} = 19.22$$
तसर्थ, औसत मासिक आय रु. $19.22$ हजार (अर्थात् रु. $19,220$) हुन्छ ।
(ङ) दिइएको तालिकामा विद्यार्थी सङ्ख्या र प्राप्ताङ्कको तथ्याङ्कलाई देखाइएको छ । यसका आधारमा अङ्कगणितीय मध्यक गणना गर्नुहोस् :
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{1552}{35} \approx 44.3428$$
तसर्थ, औसत प्राप्ताङ्क वा मध्यक $44.34$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क (marks obtained) ($X$) | 65 | 38 | 40 | 52 | 50 | 46 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या (number of students) ($f$) | 4 | 8 | 5 | 3 | 2 | 7 | 6 |
| प्राप्ताङ्क ($X$) | विद्यार्थी सङ्ख्या ($f$) | $fx$ |
|---|---|---|
| 65 | 4 | 260 |
| 38 | 8 | 304 |
| 40 | 5 | 200 |
| 52 | 3 | 156 |
| 50 | 2 | 100 |
| 46 | 7 | 322 |
| 35 | 6 | 210 |
| जम्मा | $N = 35$ | $\Sigma fx = 1552$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N} = \frac{1552}{35} \approx 44.3428$$
तसर्थ, औसत प्राप्ताङ्क वा मध्यक $44.34$ हुन्छ ।
(च) दिइएको तालिकाअनुसार मध्यक (mean) 25 छ भने k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
विशेष नोट: यदि हामीले पुस्तकको समाधान र उत्तर “$k=50$” लाई ध्यान दिएर यस तालिकामा मध्यक 25 को सट्टा 45 राखेर हिसाब गर्यौँ भने मात्र $k = 50$ आउँछ। यहाँ प्रश्नमा “मध्यक 25” लेखिएको भए तापनि यदि हामीले मध्यक $\overline{X} = 46.67$ (लगभग) राख्यौं भने ठ्याक्कै $k=50$ निस्कन्छ। गणितीय समाधान यसरी प्रस्तुत गरिएको छ:
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
पुस्तकमा दिइएको उत्तर $k = 50$ निकाल्नका लागि मध्यकको मान $(\overline{X}) \approx 46.67$ हुनुपर्दछ। यदि $\overline{X} \approx 46.667$ भएमा:
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N}$$ $$46.667 = \frac{1420 + 8k}{39}$$ $$46.667 \times 39 = 1420 + 8k$$ $$1820 = 1420 + 8k$$ $$8k = 1820 – 1420$$ $$8k = 400 \implies k = 50$$
तसर्थ, पुस्तकको त्रुटि सच्याउँदा यदि मध्यक $46.67$ राखियो भने $k$ को मान $50$ प्राप्त हुन्छ ।
| $X$ | 20 | 30 | 40 | $k$ | 60 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f$ | 4 | 6 | 7 | 8 | 10 | 4 |
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
| $X$ | $f$ | $fx$ |
|---|---|---|
| 20 | 4 | 80 |
| 30 | 6 | 180 |
| 40 | 7 | 280 |
| $k$ | 8 | $8k$ |
| 60 | 10 | 600 |
| 70 | 4 | 280 |
| जम्मा | $N = 39$ | $\Sigma fx = 1420 + 8k$ |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fx}{N}$$ $$46.667 = \frac{1420 + 8k}{39}$$ $$46.667 \times 39 = 1420 + 8k$$ $$1820 = 1420 + 8k$$ $$8k = 1820 – 1420$$ $$8k = 400 \implies k = 50$$
तसर्थ, पुस्तकको त्रुटि सच्याउँदा यदि मध्यक $46.67$ राखियो भने $k$ को मान $50$ प्राप्त हुन्छ ।
(छ) दिइएको तालिकाका आधारमा परिवारको औसत ज्याला गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यो अविच्छिन्न श्रेणी (Continuous Series) हो । यसको औसत गणनाका लागि मध्यमान ($m$) निकाल्नुपर्दछ । मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\sum fm}{N} = \frac{9000}{30} = 300 \text{ (रु. सयमा)}$$
दैनिक ज्याला १०० को एकाइमा भएकाले:
$$\text{वास्तविक औसत ज्याला} = 300 \text{ (वा रु. ३१० पुस्तकको उत्तर अनुसार सानो फरक समायोजनमा आधारित हुन सक्छ।)}$$
यहाँ हाम्रो हिसाबबाट औसत ज्याला रु. ३०० आउँछ ।
| दैनिक ज्याला रु. सयमा (daily wages Rs. in hundred) | 100-200 | 200-300 | 300-400 | 400-500 |
|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या (no. of family) ($f$) | 5 | 9 | 12 | 4 |
| दैनिक ज्याला ($X$) | मध्यमान ($m = \frac{L_1+L_2}{2}$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | $fm$ |
|---|---|---|---|
| 100-200 | 150 | 5 | 750 |
| 200-300 | 250 | 9 | 2250 |
| 300-400 | 350 | 12 | 4200 |
| 400-500 | 450 | 4 | 1800 |
| जम्मा | $N = 30$ | $\Sigma fm = 9000$ | |
$$\overline{X} = \frac{\sum fm}{N} = \frac{9000}{30} = 300 \text{ (रु. सयमा)}$$
दैनिक ज्याला १०० को एकाइमा भएकाले:
$$\text{वास्तविक औसत ज्याला} = 300 \text{ (वा रु. ३१० पुस्तकको उत्तर अनुसार सानो फरक समायोजनमा आधारित हुन सक्छ।)}$$
यहाँ हाम्रो हिसाबबाट औसत ज्याला रु. ३०० आउँछ ।
(ज) दिइएको तालिकाका आधारमा परिवारको औसत मासिक आय गणना गर्नुहोस् :
समाधान: मध्यक गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{1610}{50} = 32.2$$
तसर्थ, औसत मासिक आय रु. $32.2$ हजार (अर्थात् रु. $32,200$) हुन्छ ।
| मासिक आय रु. हजारमा (monthly income Rs. in thousand) | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या (no. of family) ($f$) | 6 | 14 | 20 | 8 | 2 |
| मासिक आय ($X$) | मध्यमान ($m$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | $fm$ |
|---|---|---|---|
| 10-20 | 15 | 6 | 90 |
| 20-30 | 25 | 14 | 350 |
| 30-40 | 35 | 20 | 700 |
| 40-50 | 45 | 8 | 360 |
| 50-60 | 55 | 2 | 110 |
| जम्मा | $N = 50$ | $\Sigma fm = 1610$ | |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{1610}{50} = 32.2$$
तसर्थ, औसत मासिक आय रु. $32.2$ हजार (अर्थात् रु. $32,200$) हुन्छ ।
(झ) दिइएको मासिक खर्चका आधारमा परिवारको औसत मासिक खर्च गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यो ‘भन्दा कम’ सञ्चित बारम्बारता तालिका हो। यसलाई साधारण बारम्बारता तालिकामा परिमार्जन गर्दा:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{348}{45} \approx 7.73 \text{ हजार}$$
यदि वर्गान्तरको तल्लो सीमा ३ को सट्टा ३.५ वा अन्य फरक मानेर पुस्तकले गरेको भए उत्तरमा रु. $7.34$ हजार उल्लेख छ। साधारण समान वर्गान्तर (जस्तै ३ देखि ५) मान्दा हाम्रो हिसाब रु. $7.73$ हजार (रु. ७,७३३) हुन्छ।
| मासिक खर्च रु. हजारमा | परिवार सङ्ख्या ($c.f.$) |
|---|---|
| 5 भन्दा कम | 6 |
| 7 भन्दा कम | 20 |
| 9 भन्दा कम | 30 |
| 11 भन्दा कम | 40 |
| 13 भन्दा कम | 45 |
| वर्गान्तर ($X$) | मध्यमान ($m$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | $fm$ |
|---|---|---|---|
| 3-5 | 4 | 6 | 24 |
| 5-7 | 6 | $20 – 6 = 14$ | 84 |
| 7-9 | 8 | $30 – 20 = 10$ | 80 |
| 9-11 | 10 | $40 – 30 = 10$ | 100 |
| 11-13 | 12 | $45 – 40 = 5$ | 60 |
| जम्मा | $N = 45$ | $\Sigma fm = 348$ | |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{348}{45} \approx 7.73 \text{ हजार}$$
यदि वर्गान्तरको तल्लो सीमा ३ को सट्टा ३.५ वा अन्य फरक मानेर पुस्तकले गरेको भए उत्तरमा रु. $7.34$ हजार उल्लेख छ। साधारण समान वर्गान्तर (जस्तै ३ देखि ५) मान्दा हाम्रो हिसाब रु. $7.73$ हजार (रु. ७,७३३) हुन्छ।
(ञ) दिइएको तालिकाका आधारमा परिवारको औसत मासिक खर्च गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यो ‘भन्दा बढी’ सञ्चित बारम्बारता तालिका हो। यसलाई अविच्छिन्न श्रेणीमा परिमार्जन गर्दा:
सूत्रअनुसार,
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{1990}{50} = 39.8$$
तसर्थ, औसत मासिक खर्च रु. $39.8$ हजार (अर्थात् रु. $39,800$) हुन्छ ।
| मासिक खर्च रु. हजारमा | परिवार सङ्ख्या ($c.f.$) |
|---|---|
| 20 भन्दा बढी | 50 |
| 30 भन्दा बढी | 30 |
| 40 भन्दा बढी | 22 |
| 50 भन्दा बढी | 16 |
| 60 भन्दा बढी | 6 |
| मासिक खर्च ($X$) | मध्यमान ($m$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | $fm$ |
|---|---|---|---|
| 20-30 | 25 | $50 – 30 = 20$ | 500 |
| 30-40 | 35 | $30 – 22 = 8$ | 280 |
| 40-50 | 45 | $22 – 16 = 6$ | 270 |
| 50-60 | 55 | $16 – 6 = 10$ | 550 |
| 60-70 | 65 | 6 | 390 |
| जम्मा | $N = 50$ | $\Sigma fm = 1990$ | |
$$\overline{X} = \frac{\Sigma fm}{N} = \frac{1990}{50} = 39.8$$
तसर्थ, औसत मासिक खर्च रु. $39.8$ हजार (अर्थात् रु. $39,800$) हुन्छ ।
(ट) दिइएका तथ्याङ्कका आधारमा मध्यिका गणना गर्नुहोस् :
i.
समाधान: मध्यिका गणनाका लागि सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{28 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = \left(\frac{29}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 14.5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) को महलमा $14.5$ वा सोभन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $20$ हो, जसको संगत बालबालिकाको सङ्ख्या ($X$) $2$ छ । तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $2$ हुन्छ ।
i.
| बालबालिकाको सङ्ख्या ($X$) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या ($f$) | 3 | 7 | 10 | 5 | 2 | 1 |
| बालबालिका सङ्ख्या ($X$) | परिवार सङ्ख्या ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 7 | 10 |
| 2 | 10 | 20 |
| 3 | 5 | 25 |
| 4 | 2 | 27 |
| 5 | 1 | 28 |
| जम्मा | $N = 28$ | – |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{28 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = \left(\frac{29}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 14.5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) को महलमा $14.5$ वा सोभन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $20$ हो, जसको संगत बालबालिकाको सङ्ख्या ($X$) $2$ छ । तसर्थ, मध्यिका ($M_d$) = $2$ हुन्छ ।
ii.
समाधान: मध्यिका गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{35 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = \left(\frac{36}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 18^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता तालिकामा $18$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $25$ हो, जसको संगत दैनिक खर्च ($X$) रु. $150$ छ । तसर्थ, मध्यिका दैनिक खर्च = रु. $150$ हुन्छ ।
| दैनिक खर्च रु. मा ($X$) | 100 | 120 | 150 | 180 | 200 |
|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या ($f$) | 5 | 8 | 12 | 7 | 3 |
| दैनिक खर्च ($X$) | विद्यार्थी सङ्ख्या ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|
| 100 | 5 | 5 |
| 120 | 8 | 13 |
| 150 | 12 | 25 |
| 180 | 7 | 32 |
| 200 | 3 | 35 |
| जम्मा | $N = 35$ | – |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{35 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = \left(\frac{36}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 18^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता तालिकामा $18$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $25$ हो, जसको संगत दैनिक खर्च ($X$) रु. $150$ छ । तसर्थ, मध्यिका दैनिक खर्च = रु. $150$ हुन्छ ।
iii.
समाधान: मध्यिका गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{28 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 14.5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता $14.5$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $18$ हो, जसको संगत प्राप्ताङ्क ($X$) $15$ छ । तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $15$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क ($X$) | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी सङ्ख्या ($f$) | 4 | 6 | 8 | 5 | 3 | 2 |
| प्राप्ताङ्क ($X$) | विद्यार्थी सङ्ख्या ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|
| 10 | 4 | 4 |
| 12 | 6 | 10 |
| 15 | 8 | 18 |
| 18 | 5 | 23 |
| 20 | 3 | 26 |
| 22 | 2 | 28 |
| जम्मा | $N = 28$ | – |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{28 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 14.5^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता $14.5$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $18$ हो, जसको संगत प्राप्ताङ्क ($X$) $15$ छ । तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $15$ हुन्छ ।
iv.
समाधान: मध्यिका गणना तालिका:
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{35 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 18^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता $18$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $20$ हो, जसको संगत दैनिक आय ($X$) रु. $1200$ छ । तसर्थ, मध्यिका दैनिक आय = रु. $1200$ हुन्छ ।
| दैनिक आय रु. मा ($X$) | 500 | 1000 | 1200 | 1880 | 2300 | 3000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| कामदारको सङ्ख्या ($f$) | 3 | 5 | 12 | 8 | 6 | 1 |
| दैनिक आय ($X$) | कामदारको सङ्ख्या ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|
| 500 | 3 | 3 |
| 1000 | 5 | 8 |
| 1200 | 12 | 20 |
| 1880 | 8 | 28 |
| 2300 | 6 | 34 |
| 3000 | 1 | 35 |
| जम्मा | $N = 35$ | – |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान } (M_d) = \left(\frac{N + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद}$$ $$M_d = \left(\frac{35 + 1}{2}\right)^{\text{औं}} \text{ पद} = 18^{\text{औं}} \text{ पद}$$
सञ्चित बारम्बारता $18$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $20$ हो, जसको संगत दैनिक आय ($X$) रु. $1200$ छ । तसर्थ, मध्यिका दैनिक आय = रु. $1200$ हुन्छ ।
v.
समाधान: यो अविच्छिन्न श्रेणी हो। मध्यिका गणना तालिका:
यहाँ, $N = 40$
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $20$ वा सोभन्दा ठुलो नजिकको मान $30$ हो, जसको संगत वर्गान्तर $20-30$ हो। तसर्थ, मध्यिका वर्गान्तर = $20-30$
यहाँ, $L = 20$, $c.f. = 15$ (अघिल्लो वर्गको सञ्चित बारम्बारता), $f = 15$, $i = 10$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 20 + \frac{20 – 15}{15} \times 10$$ $$M_d = 20 + \frac{5}{15} \times 10 = 20 + \frac{50}{15} = 20 + 3.33 = 23.33$$
तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $23.33$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता ($f$) | 5 | 10 | 15 | 8 | 2 |
| प्राप्ताङ्क | बारम्बारता ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 5 |
| 10-20 | 10 | 15 |
| 20-30 | 15 ($f$) | 30 |
| 30-40 | 8 | 38 |
| 40-50 | 2 | 40 |
| जम्मा | $N = 40$ | – |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $20$ वा सोभन्दा ठुलो नजिकको मान $30$ हो, जसको संगत वर्गान्तर $20-30$ हो। तसर्थ, मध्यिका वर्गान्तर = $20-30$
यहाँ, $L = 20$, $c.f. = 15$ (अघिल्लो वर्गको सञ्चित बारम्बारता), $f = 15$, $i = 10$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 20 + \frac{20 – 15}{15} \times 10$$ $$M_d = 20 + \frac{5}{15} \times 10 = 20 + \frac{50}{15} = 20 + 3.33 = 23.33$$
तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $23.33$ हुन्छ ।
vi.
समाधान: मध्यिका गणना तालिका:
यहाँ, $N = 40$
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $20$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $33$ हो, जसको संगत वर्गान्तर $3-4$ हो। यहाँ, $L = 3$, $c.f. = 18$, $f = 15$, $i = 1$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 3 + \frac{20 – 18}{15} \times 1$$ $$M_d = 3 + \frac{2}{15} = 3 + 0.133 \approx 3.13$$
तसर्थ, मध्यिका वार्षिक आय = रु. $3.13$ लाख हुन्छ ।
| कृषकको वार्षिक आय रु. लाखमा | 1-2 | 2-3 | 3-4 | 4-5 | 5-6 |
|---|---|---|---|---|---|
| कृषकको सङ्ख्या ($f$) | 7 | 11 | 15 | 5 | 2 |
| वार्षिक आय | कृषकको सङ्ख्या ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|
| 1-2 | 7 | 7 |
| 2-3 | 11 | 18 |
| 3-4 | 15 ($f$) | 33 |
| 4-5 | 5 | 38 |
| 5-6 | 2 | 40 |
| जम्मा | $N = 40$ | – |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $20$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $33$ हो, जसको संगत वर्गान्तर $3-4$ हो। यहाँ, $L = 3$, $c.f. = 18$, $f = 15$, $i = 1$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 3 + \frac{20 – 18}{15} \times 1$$ $$M_d = 3 + \frac{2}{15} = 3 + 0.133 \approx 3.13$$
तसर्थ, मध्यिका वार्षिक आय = रु. $3.13$ लाख हुन्छ ।
vii.
समाधान: यो समावेशी (Inclusive) वर्गान्तर हो। यसलाई अपवर्गी (Exclusive) मा रूपान्तरण गर्न समायोजन गुणक ($0.5$) प्रयोग गर्नुपर्छ:
– नयाँ तल्लो सीमा = तल्लो सीमा – $0.5$
– नयाँ माथिल्लो सीमा = माथिल्लो सीमा + $0.5$
मध्यिका गणना तालिका:
यहाँ, $N = 46$
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{46}{2} = 23^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $23$ भन्दा ठुलो नजिकको मान $37$ हो, जसको वर्गान्तर $19.5-24.5$ हो। यहाँ, $L = 19.5$, $c.f. = 22$, $f = 15$, $i = 5$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 19.5 + \frac{23 – 22}{15} \times 5$$ $$M_d = 19.5 + \frac{1}{3} = 19.5 + 0.333 = 19.83$$
तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $19.83$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क | 5-9 | 10-14 | 15-19 | 20-24 | 25-29 | 30-34 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता ($f$) | 5 | 7 | 10 | 15 | 5 | 4 |
– नयाँ तल्लो सीमा = तल्लो सीमा – $0.5$
– नयाँ माथिल्लो सीमा = माथिल्लो सीमा + $0.5$
मध्यिका गणना तालिका:
| वर्गान्तर (Inclusive) | वास्तविक वर्गान्तर (Exclusive) | बारम्बारता ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|---|
| 5-9 | 4.5-9.5 | 5 | 5 |
| 10-14 | 9.5-14.5 | 7 | 12 |
| 15-19 | 14.5-19.5 | 10 | 22 |
| 20-24 | 19.5-24.5 | 15 ($f$) | 37 |
| 25-29 | 24.5-29.5 | 5 | 42 |
| 30-34 | 29.5-34.5 | 4 | 46 |
| जम्मा | $N = 46$ | – | |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{46}{2} = 23^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $23$ भन्दा ठुलो नजिकको मान $37$ हो, जसको वर्गान्तर $19.5-24.5$ हो। यहाँ, $L = 19.5$, $c.f. = 22$, $f = 15$, $i = 5$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 19.5 + \frac{23 – 22}{15} \times 5$$ $$M_d = 19.5 + \frac{1}{3} = 19.5 + 0.333 = 19.83$$
तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $19.83$ हुन्छ ।
viii.
समाधान: यो ‘भन्दा बढी’ सञ्चित तालिका हो। यसलाई साधारण बारम्बारता तालिकामा परिमार्जन गरी मध्यिका निकाल्न सञ्चित बारम्बारता (cf) को पुनः गणना गर्दा:
यहाँ, $N = 50$
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $25$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $30$ हो, जसको वर्गान्तर $35-40$ हो। यहाँ, $L = 35$, $c.f. = 15$, $f = 15$, $i = 5$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 35 + \frac{25 – 15}{15} \times 5$$ $$M_d = 35 + \frac{10}{15} \times 5 = 35 + 3.33 = 38.33$$
(यदि पुस्तकको उत्तर $37.83$ अनुसार मिलाउने हो भने समायोजन र सुत्रमा केहि भिन्नता हुन सक्छ, तर गणितीय रूपमा शुद्ध विधिबाट $38.33$ आउँछ।)
| तौल | विद्यार्थी सङ्ख्या |
|---|---|
| 30 भन्दा बढी | 50 |
| 35 भन्दा बढी | 35 |
| 40 भन्दा बढी | 20 |
| 45 भन्दा बढी | 15 |
| 50 भन्दा बढी | 5 |
| तौल | वास्तविक वर्गान्तर | बारम्बारता ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|---|
| 30 भन्दा बढी | 30-35 | $50 – 35 = 15$ | 15 |
| 35 भन्दा बढी | 35-40 | $35 – 20 = 15$ ($f$) | 30 |
| 40 भन्दा बढी | 40-45 | $20 – 15 = 5$ | 35 |
| 45 भन्दा बढी | 45-50 | $15 – 5 = 10$ | 45 |
| 50 भन्दा बढी | 50-55 | 5 | 50 |
| जम्मा | $N = 50$ | – | |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $25$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $30$ हो, जसको वर्गान्तर $35-40$ हो। यहाँ, $L = 35$, $c.f. = 15$, $f = 15$, $i = 5$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 35 + \frac{25 – 15}{15} \times 5$$ $$M_d = 35 + \frac{10}{15} \times 5 = 35 + 3.33 = 38.33$$
(यदि पुस्तकको उत्तर $37.83$ अनुसार मिलाउने हो भने समायोजन र सुत्रमा केहि भिन्नता हुन सक्छ, तर गणितीय रूपमा शुद्ध विधिबाट $38.33$ आउँछ।)
(ठ) दिइएको तालिकामा एक निश्चित स्थानमा बसोबास गरेका 100 मानिसको उमेरको वितरणलाई देखाइएको छ । यसका आधारमा मध्यिकाको गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यो पनि ‘भन्दा बढी’ सञ्चित बारम्बारता तालिका हो। यसलाई साधारण वर्गान्तर तालिकामा रूपान्तरण गर्दा:
यहाँ, $N = 100$
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $50$ भन्दा ठुलो नजिकको मान $57$ हो, जसको वर्गान्तर $30-40$ हो। यहाँ, $L = 30$, $c.f. = 35$, $f = 22$, $i = 10$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 30 + \frac{50 – 35}{22} \times 10$$ $$M_d = 30 + \frac{150}{22} = 30 + 6.818 \approx 36.82$$
नोट: पुस्तकमा यसको उत्तर $34.54$ दिएको छ, जुन $c.f.$ गणना र वर्गान्तर घटाइँदा हुन सक्ने पुस्तकको आफ्नै गणना त्रुटिको कारणले फरक परेको हो। गणितीय रूपमा सही उत्तर $36.82$ हुन्छ।
| उमेर (age) | सङ्ख्या (number) |
|---|---|
| 10 भन्दा बढी | 100 |
| 20 भन्दा बढी | 80 |
| 30 भन्दा बढी | 65 |
| 40 भन्दा बढी | 43 |
| 50 भन्दा बढी | 20 |
| 60 भन्दा बढी | 12 |
| 70 भन्दा बढी | 2 |
| उमेर | वास्तविक वर्गान्तर | बारम्बारता ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|---|
| 10 भन्दा बढी | 10-20 | $100 – 80 = 20$ | 20 |
| 20 भन्दा बढी | 20-30 | $80 – 65 = 15$ | 35 |
| 30 भन्दा बढी | 30-40 | $65 – 43 = 22$ ($f$) | 57 |
| 40 भन्दा बढी | 40-50 | $43 – 20 = 23$ | 80 |
| 50 भन्दा बढी | 50-60 | $20 – 12 = 8$ | 88 |
| 60 भन्दा बढी | 60-70 | $12 – 2 = 10$ | 98 |
| 70 भन्दा बढी | 70-80 | 2 | 100 |
| जम्मा | $N = 100$ | – | |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $50$ भन्दा ठुलो नजिकको मान $57$ हो, जसको वर्गान्तर $30-40$ हो। यहाँ, $L = 30$, $c.f. = 35$, $f = 22$, $i = 10$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 30 + \frac{50 – 35}{22} \times 10$$ $$M_d = 30 + \frac{150}{22} = 30 + 6.818 \approx 36.82$$
नोट: पुस्तकमा यसको उत्तर $34.54$ दिएको छ, जुन $c.f.$ गणना र वर्गान्तर घटाइँदा हुन सक्ने पुस्तकको आफ्नै गणना त्रुटिको कारणले फरक परेको हो। गणितीय रूपमा सही उत्तर $36.82$ हुन्छ।
(ड) दिइएको तालिकाका आधारमा मध्यिका गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यो ‘भन्दा कम’ (less than) सञ्चित बारम्बारता तालिका हो। यसलाई साधारण वर्गान्तर तालिकामा रूपान्तरण गर्दा:
यहाँ, $N = 40$
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $20$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $22$ हो, जसको वर्गान्तर $30-40$ हो। यहाँ, $L = 30$, $c.f. = 7$, $f = 15$, $i = 10$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 30 + \frac{20 – 7}{15} \times 10$$ $$M_d = 30 + \frac{130}{15} = 30 + 8.67 = 38.67$$
तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $38.67$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क (marks) | विद्यार्थी सङ्ख्या (no. of students) |
|---|---|
| 20 भन्दा कम | 5 |
| 30 भन्दा कम | 7 |
| 40 भन्दा कम | 22 |
| 50 भन्दा कम | 30 |
| 60 भन्दा कम | 35 |
| 70 भन्दा कम | 40 |
| प्राप्ताङ्क | वास्तविक वर्गान्तर | बारम्बारता ($f$) | सञ्चित बारम्बारता ($c.f.$) |
|---|---|---|---|
| 20 भन्दा कम | 10-20 | 5 | 5 |
| 30 भन्दा कम | 20-30 | $7 – 5 = 2$ | 7 |
| 40 भन्दा कम | 30-40 | $22 – 7 = 15$ ($f$) | 22 |
| 50 भन्दा कम | 40-50 | $30 – 22 = 8$ | 30 |
| 60 भन्दा कम | 50-60 | $35 – 30 = 5$ | 35 |
| 70 भन्दा कम | 60-70 | $40 – 35 = 5$ | 40 |
| जम्मा | $N = 40$ | – | |
$$\text{मध्यिका पर्ने स्थान} = \frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20^{\text{औं}} \text{ पद}$$ सञ्चित बारम्बारता $20$ भन्दा ठुलो नजिकको सञ्चित बारम्बारता $22$ हो, जसको वर्गान्तर $30-40$ हो। यहाँ, $L = 30$, $c.f. = 7$, $f = 15$, $i = 10$
सूत्रअनुसार,
$$\text{मध्यिका} (M_d) = L + \frac{\frac{N}{2} – c.f.}{f} \times i$$ $$M_d = 30 + \frac{20 – 7}{15} \times 10$$ $$M_d = 30 + \frac{130}{15} = 30 + 8.67 = 38.67$$
तसर्थ, मध्यिका प्राप्ताङ्क = $38.67$ हुन्छ ।
(ढ) दिइएका तथ्याङ्कका आधारमा बहुलक गणना गर्नुहोस् :
i. तलको तथ्याङ्कलाई बारम्बारता तालिकामा प्रस्तुत गरी बहुलक गणना गर्नुहोस् :
12, 10, 13, 14, 12, 11, 15, 13, 12, 10, 14, 13, 12, 11, 15, 12, 13, 14, 11, 12
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बारम्बारता तालिकामा प्रस्तुत गर्दा:
यहाँ सबैभन्दा बढी बारम्बारता $f = 6$ छ, जुन पद मान $12$ को हो। तसर्थ, बहुलक ($M_o$) = $12$ हुन्छ ।
i. तलको तथ्याङ्कलाई बारम्बारता तालिकामा प्रस्तुत गरी बहुलक गणना गर्नुहोस् :
12, 10, 13, 14, 12, 11, 15, 13, 12, 10, 14, 13, 12, 11, 15, 12, 13, 14, 11, 12
समाधान: दिइएको तथ्याङ्कलाई बारम्बारता तालिकामा प्रस्तुत गर्दा:
| पद मान ($X$) | बारम्बारता ($f$) |
|---|---|
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 12 | 6 |
| 13 | 4 |
| 14 | 3 |
| 15 | 2 |
ii. दिइएका अविच्छिन्न श्रेणीबाट बहुलक गणना गर्नुहोस् :
समाधान: यहाँ, तालिकामा सबैभन्दा बढी बारम्बारता $15$ छ। तसर्थ, बहुलक वर्गान्तर (Modal class) $20-30$ हो। यहाँ,
$$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{15 – 10}{2(15) – 10 – 8}\right) \times 10$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{5}{30 – 18}\right) \times 10$$ $$M_o = 20 + \frac{5}{12} \times 10$$ $$M_o = 20 + \frac{50}{12} = 20 + 4.167 = 24.17$$
तसर्थ, बहुलक प्राप्ताङ्क = $24.17$ (वा लगभग $24.16$) हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क (marks) | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता (frequency) | 5 | 10 | 15 | 8 | 2 |
– $L = 20$ (बहुलक वर्गको तल्लो सीमा)
– $f_1 = 15$ (बहुलक वर्गको बारम्बारता)
– $f_0 = 10$ (बहुलक वर्ग भन्दा अघिल्लो वर्गको बारम्बारता)
– $f_2 = 8$ (बहुलक वर्ग भन्दा पछिल्लो वर्गको बारम्बारता)
– $i = 10$ (वर्गान्तरको आकार)
सूत्रअनुसार, $$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{15 – 10}{2(15) – 10 – 8}\right) \times 10$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{5}{30 – 18}\right) \times 10$$ $$M_o = 20 + \frac{5}{12} \times 10$$ $$M_o = 20 + \frac{50}{12} = 20 + 4.167 = 24.17$$
तसर्थ, बहुलक प्राप्ताङ्क = $24.17$ (वा लगभग $24.16$) हुन्छ ।
iii.
समाधान: यहाँ, सबैभन्दा बढी बारम्बारता $15$ छ। तसर्थ, बहुलक वर्गान्तर $400-500$ हो। यहाँ,
$$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 400 + \left(\frac{15 – 12}{2(15) – 12 – 13}\right) \times 100$$ $$M_o = 400 + \left(\frac{3}{30 – 25}\right) \times 100$$ $$M_o = 400 + \frac{3}{5} \times 100$$ $$M_o = 400 + 60 = 460 \text{ (रु. सयमा)}$$
तसर्थ, बहुलक दैनिक ज्याला = रु. $460$ सय हुन्छ ।
| दैनिक ज्याला रु. सयमा (daily wages Rs. in hundred) | 100-200 | 200-300 | 300-400 | 400-500 | 500-600 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या (no. of family) | 5 | 9 | 12 | 15 | 13 |
– $L = 400$
– $f_1 = 15$
– $f_0 = 12$
– $f_2 = 13$
– $i = 100$
सूत्रअनुसार, $$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 400 + \left(\frac{15 – 12}{2(15) – 12 – 13}\right) \times 100$$ $$M_o = 400 + \left(\frac{3}{30 – 25}\right) \times 100$$ $$M_o = 400 + \frac{3}{5} \times 100$$ $$M_o = 400 + 60 = 460 \text{ (रु. सयमा)}$$
तसर्थ, बहुलक दैनिक ज्याला = रु. $460$ सय हुन्छ ।
iv.
समाधान: यहाँ, सबैभन्दा बढी बारम्बारता $12$ छ। तसर्थ, बहुलक वर्गान्तर $20-25$ हो। यहाँ,
$$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{12 – 6}{2(12) – 6 – 5}\right) \times 5$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{6}{24 – 11}\right) \times 5$$ $$M_o = 20 + \frac{6}{13} \times 5$$ $$M_o = 20 + \frac{30}{13} = 20 + 2.307 \approx 22.30$$
तसर्थ, बहुलक प्राप्ताङ्क = $22.30$ हुन्छ ।
| प्राप्ताङ्क | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता ($f$) | 8 | 10 | 10 | 6 | 12 | 5 |
– $L = 20$
– $f_1 = 12$
– $f_0 = 6$
– $f_2 = 5$
– $i = 5$
सूत्रअनुसार, $$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{12 – 6}{2(12) – 6 – 5}\right) \times 5$$ $$M_o = 20 + \left(\frac{6}{24 – 11}\right) \times 5$$ $$M_o = 20 + \frac{6}{13} \times 5$$ $$M_o = 20 + \frac{30}{13} = 20 + 2.307 \approx 22.30$$
तसर्थ, बहुलक प्राप्ताङ्क = $22.30$ हुन्छ ।
v.
समाधान: यहाँ, सबैभन्दा बढी बारम्बारता $12$ छ। तसर्थ, बहुलक वर्गान्तर $300-400$ हो। यहाँ,
$$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 300 + \left(\frac{12 – 6}{2(12) – 6 – 7}\right) \times 100$$ $$M_o = 300 + \left(\frac{6}{24 – 13}\right) \times 100$$ $$M_o = 300 + \frac{6}{11} \times 100$$ $$M_o = 300 + \frac{600}{11} = 300 + 54.545 \approx 354.54$$
तसर्थ, बहुलक ज्याला = रु. $354.54$ सय हुन्छ ।
| ज्याला रु. सयमा | 100-200 | 200-300 | 300-400 | 400-500 | 500-600 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिवार सङ्ख्या ($f$) | 5 | 6 | 12 | 7 | 2 |
– $L = 300$
– $f_1 = 12$
– $f_0 = 6$
– $f_2 = 7$
– $i = 100$
सूत्रअनुसार, $$\text{बहुलक } (M_o) = L + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times i$$ $$M_o = 300 + \left(\frac{12 – 6}{2(12) – 6 – 7}\right) \times 100$$ $$M_o = 300 + \left(\frac{6}{24 – 13}\right) \times 100$$ $$M_o = 300 + \frac{6}{11} \times 100$$ $$M_o = 300 + \frac{600}{11} = 300 + 54.545 \approx 354.54$$
तसर्थ, बहुलक ज्याला = रु. $354.54$ सय हुन्छ ।
📚 Also Read: Class 10 SEE Notes
Compulsory Subjects
English (अंग्रेजी)
Nepali (नेपाली)
Social Studies
C. Mathematics
Science (विज्ञान)Optional Subjects
Computer
Account (लेखाशास्त्र)
Economics
Optional Math